Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Pn(x) = (x − x0) Qn−1(x),

kde Qn−1 je vhodný polynom stupně n − 1.

Výraz (x − x0) vystupující v předchozím vztahu se nazývá kořenový činitel příslušný
ke kořenu x0.

Předchozí dvě věty mají následující důsledek:

26

Úvod

• Rozklad polynomu na kořenové činitele: Jsou-li (reálná nebo komplexní, ne

nutně různá) čísla x1, x2, . . . , xn kořeny polynomu Pn(x) = anx

n + a

n−1x

n−1 + · · · +

+ a1x + a0, platí

Pn(x) = an(x − x1)(x − x2) · · · · · (x − xn).

Odtud plyne, že polynom stupně n má právě n (ne nutně různých) kořenů.

Poznámka 1.39. Mezi koeficienty polynomu a jeho kořeny platí následující vztah:

a0 = (−1)

na

n(x1x2 · · · xn)

Jsou-li tedy koeficienty polynomu celočíselné, pak jeho celočíselné kořeny dělí absolutní
člen polynomu – u polynomů vyšších řádů můžeme tak někdy některé kořeny „uhodnoutÿ.
V odstavci Pro zzájemce na konci kapitoly uvádíme další vztahy mezi kořeny a koefici-
enty polynomu.

Nalézt přesně kořeny libovolného polynomu neumíme (existují metody pro jejich přibližné
určení, které se vyšetřují v numerických metodách), často nám stačí určit, zda některé
známé číslo kořenem daného polynomu je nebo není – tedy určit funkční hodnotu poly-
nomu. K tomu existuje jeden velmi jednoduchý algoritmus, který se nazývá Hornerovo
schéma a má následující tvar:

Budeme hledat funkční hodnotu p(x0) polynomu p(x) = anx

n +a

n−1x

n−1 +· · ·+a

1x+a0

v čísle x = x0. Napíšeme třířádkové schéma, ve kterém na prvním řádku jsou koeficienty
polynomu p(x) (úplně nalevo napíšeme číslo x = x0), do druhého řádku vždy součin
čísla x0 s předchozím výsledkem, který nám vyšel ve třetím řádku, přičemž třetí řádek
je součtem prvních dvou; tedy na prvním místě druhého řádku je prázdné místo a na
prvním místě třetího řádku je opsán koeficient a0. Prvky třetího řádku označíme písmeny
b s příslušnými indexy. Na posledním místě třetího řádku dostaneme hledanou funkční
hodnotu p(x0). Konkrétně: