Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Odtud porovnáním koeficientů dostaneme soustavu rovnic
B + C
= 2
A + B
+ D = 0
A + B
= 1
A
= 2
Soustava má řešení A = 2, B = −1, C = 3, D = −1, tj.
2x3 + x + 2
x4 + x3 + x2
=
2
x2
−
1
x
+
3x − 1
x2 + x + 1
.
Příklad 1.45.
R(x) =
x + 2
x3 − x
=
x + 2
x(x + 1)(x − 1)
=
A
x
+
B
x + 1
+
C
x − 1
.
Odtud
x + 2 = A(x + 1)(x − 1) + Bx(x − 1) + Cx(x + 1)
a můžeme opět roznásobit a porovnat koeficienty u stejných mocnin.
Zde je ovšem výhodnější jiný postup. Vyjdeme z faktu, že jestliže se dvě funkce sobě rov-
nají, mají stejné funkční hodnoty pro všechna x. Porovnáme funkční hodnoty ve vhodných
bodech:
x = 0 :
2 = A(−1)
⇒ A = −2
x = 1 :
3 = C · 2
⇒ C = 3
2
x = −1 : 1 = B(−1)(−2) ⇒ B =
1
2
a odtud
x + 2
x3 − x
= −
2
x
+
1
2
1
x + 1
+
3
2
1
x − 1
.
1.2 Funkce, zobrazení
31
Pro výpočet rozkladu racionální lomené funkce slouží tento maplet.
Mocninnou funkcí nazýváme funkci f danou předpisem
f (x) = x
a.
Přitom mohou nastat tyto případy.
a) a ∈ N. Mocninná funkce s přirozeným exponentem je definovaná ∀x ∈ R. Je-li a
sudé číslo, jedná se o sudou funkci, která je klesající na intervalu (−∞, 0) a rostoucí
na intervalu (0, ∞). Je-li a liché číslo, jedná se o lichou a rostoucí funkci.
b) Pro a = 0 se jedná o konstantní funkci f (x) = 1 pro x 6= 0.
c) Je-li a celé záporné číslo, a = −r, r ∈ N, je f (x) =
1
xr . Funkce je definovaná pro
x 6= 0.
d) Pro a = 1/r, kde r ∈ N, je
f (x) = x
1
r
=
r
√
x;
je definovaná na intervalu h0, ∞) pro r sudé a na intervalu (−∞, ∞) pro r liché. Je
rostoucí.