Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

an =

1

2n

√

5

h

(1 +

√

5)

n − (1 −

√

5)

n

i

.

Je-li (an)

∞
n=1 posloupnost a (nk )

∞
k=1 rostoucí posloupnost přirozených čísel, potom se

složené zobrazení (an

k )

∞
k=1 nazývá vybraná posloupnost z posloupnosti (an).

Příklad 1.48. Posloupnost 1, 4, 9, 16, 25, ... je vybraná z posloupnosti 1, 2, 3, 4, 5, ....
Vnitřní složka příslušného složeného zobrazení je (nk) = (k

2).

36

Úvod

Řekneme, že posloupnost (an)

∞
n=1 je aritmetická, existuje-li číslo d tak, že platí reku-

rentní vztah

an+1 = an + d.

Číslo d se nazývá diference.

Pro n-tý člen aritmetické posloupnosti platí

an = a1 + (n − 1)d,

pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí

sn =

n

2 (a1 + an).

Posloupnost (an)

∞
n=1 se nazývá geometrická, jestliže existuje číslo q tak, že platí

an+1 = an · q.

Číslo q se nazývá kvocient.

Pro n-tý člen geometické posloupnosti platí

an = a1 · q

n−1,

pro součet prvních n členů geometické posloupnosti platí

sn =

 a1

1−qn

1−q

q 6= 1

n · a1

q = 1

Pro zájemce

• Vietovy vzorce: Je-li

Pn(x) = anx

n + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = an(x − x1)(x − x2) · · · · · (x − xn),

platí:

an−1

=

−an(x1 + x2 + · · · + xn),

an−2

=

an(x1x2 + x1x3 + · · · + x2x3 + · · · + xn−1xn),

.

.

.

.

.

.

a0

=

(−1)nan(x1x2 · · · xn).

• Odvození Hornerova schématu: Buď P polynom a x0 ∈ R. Víme, že existují polynomy Q, R tak, že platí

P (x) = (x − x0) Q(x) + R(x),

kde stupeň R < stupeň (x − x0), tedy je roven nule a R je konstanta, R ∈ R.
Po dosazení x0 do předchozí rovnosti dostaneme

P (x0) = R, tedy P (x) = (x − x0) Q(x) + P (x0).

Nechť tedy

P (x) =