Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Věta 1.26. Grafy inverzních funkcí f, f −1 jsou symetrické podle přímky y = x.

Poznámka 1.27. Inverzní funkci, jak vyplývá z definice, můžeme utvořit pouze k prosté
funkci; není-li funkce prostá, dá se utvořit inverzní funkce k jejímu zúžení na vhodný
interval, jak jsme viděli v předchozím příkladu na funkcích f (x) = x2, x ∈ h0, ∞) resp.

20

Úvod

Obr. 1.9: y =tg x, y =arctg x

Obr. 1.10: y =cotg x, y =arccotg x

f (x) = sin x, x ∈ h−

π

2 ,

π

2 i. Jestliže se omezíme na jiný interval, na kterém je daná funkce

prostá, dostaneme pochopitelně jinou inverzní funkci. Uvažujme např. dvě jiná zúžení
funkce sin x, a to jednak na interval h

π

2 ,

3π

2 i, jednak na interval h−

3π

2 , −

π

2 i. Příslušné

funkce vidíme v následujícím obrázku:

Obr. 1.11:

Obr. 1.12:

Poznámka 1.28. Povšimněme si, co se stane, vytvoříme-li kompozici dvou navzájem
inverzních funkcí:
Zřejmě platí:

f

−1[f(x)] = x, x ∈ D

f

a

f [f

−1(y)] = y, y ∈ D

f −1 .

Pozor: je podstatné, že vnitřní složku uvažujeme pouze na té části definičního oboru,

kde je tato vnitřní složka prostou funkcí, tedy tam, kde k ní sestrojujeme funkci inverzní,

1.2 Funkce, zobrazení

21

Obr. 1.13: arcsin sin x

která je vnější složkou. Na obr. 1.13 můžeme na příkladu funkce arcsin sin x vidět co se
stane, když vnitřní složku uvažujeme na „většíÿ množině.

K vytváření inverzních funkcí můžeme použít tento Maplet.

Algebraické operace mezi funkcemi

Definice 1.29. Jsou-li f, g funkce a c konstanta, (kterou můžeme ostatně chápat jako
konstantní funkci, tj. funkci, která každému reálnému číslu přiřadí tutéž hodnotu c),
můžeme definovat nové funkce f + g, f − g, f g,