Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

nebo roven každému prvku této množiny,

• suprémum (resp. infimum) množiny:

nejmenší z horních (resp. největší z dol-

ních) mezí množiny.

12

Úvod

Cvičení

1. Nechť A = {0, 1, 2, 3}. Najděte množiny A ∪ A, A ∩ A, A \ A. Dají se výsledky

zobecnit?

2. Nechť A je množina všech celých čísel dělitelných dvěma, B množina všech celých

čísel dělitelných třemi, C množina všech celých čísel dělitelných šesti. Zjistěte, které
z následujících vztahů jsou správné:

a) A ⊂ B,

b)

A ⊂ C,

c)

B ⊂ C,

d) B ⊂ A,

e)

C ⊂ A,

f ) C ⊂ B,

g) A ∪ B = C, h) A \ B = C, i)

A ∩ B = C.

3. Nechť M je množina všech přirozených čísel menších než 16, M1 je její podmnožina,

která obsahuje všechna sudá čísla, M2 podmnožina, která obsahuje všechna čísla dě-
litelné třemi a M3 podmnožina, která obsahuje všechna čísla dělitelná pěti. Najděte
množiny:

a) M1 ∪ M2,

b)

M1 ∪ M2 ∪ M3,

c)

M2 ∩ M3,

d)

M1 ∩ M2 ∩ M3,

e)

(M1 ∪ M2) ∩ M3,

f ) (M1 ∩ M3) ∪ (M2 ∩ M3),

g) M2 \ M1,

h) M1 \ M2,

i)

(M1 \ M2) ∪ (M2 \ M1), j) (M1 ∪ M2) \ (M1 ∩ M2),

k) (M1 ∩ M2) ∪ M3,

l)

(M1 ∪ M2) ∩ (M2 ∪ M3).

4. Najděte suprémum a infimum množiny

a) M1 =

x | x = 2n+1

n

∧ n ∈ N

  ,

b) M2 =

n

x | x =

2+(−1)n

n

∧ n ∈ N

o

,

c) M3 = {x ∈ R | |3x − 1| < x < |3x + 1|}.

5. M = {0,5; 0,55; 0,555; . . . }. Dokažte, že sup M =

5
9 .

6. Dokažte: Je-li ∅ 6= N ⊂ M , potom

inf M ≤ inf N,

sup N ≤ sup M.

7. Nechť A, B jsou neprázdné omezené množiny v R. Označme

A + B = {x + y | x ∈ A ∧ y ∈ B}.
Dokažte:
a) sup (A + B) = sup A + sup B,
b) inf (A + B) = inf A + inf B,
c) sup (A ∪ B) = max{sup A, sup B},
d) sup (A ∩ B) ≤ min {sup A, sup B}.