Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
√
2,
√
3, 2 −
√
3, π atd. Množina všech racionálních a iracionálních čísel se nazývá obor
reálných čísel R.
Množina reálných čísel není uzavřená k opperaci tvoření odmocnin – sudé odmocniny ze
8
Úvod
záporných čísel nejsou reálná čísla; např. rovnice
x
2 + 1 = 0,
x
2 + 2x + 2 = 0
tj. (x + 1)
2 + 1 = 0
nejsou v R řešitelné.
Při hledání kořenů algebraických rovnic je však vhodné se sudými odmocninami ze zá-
porných čísel (především s druhou odmocninou z čísla −1) počítat:
Cardanův vzorec pro rovnici x3 = ax + b má tvar
x =
3
v
u
u
t
b
2
+
s
b
2
2
−
a
3
3
+
3
v
u
u
t
b
2
−
s
b
2
2
−
a
3
3
a má smysl pouze pro
c =
b
2
2
−
a
3
3
≥ 0.
Ale například rovnice
x
3 = 15x + 4 má řešení x = 4,
přičemž
c = 2
2 − 53 = −121.
Podívejme se, co dostaneme, jestliže formálně dosadíme do Cardanova vzorce:
x =
3
q
2 +
√
−121 +
3
q
2 −
√
−121 =
3
q
2 + 11
√
−1 +
3
q
2 − 11
√
−1 = (∗)
= 2 +
√
−1 + 2 −
√
−1 = 4,
přičemž rovnost označenou (∗) získáme následujícím způsobem:
2 ±
√
−1
3 = 23 ± 3 · 22 ·
√
−1
+ 3 · 2 ·
√
−1
2 ±
√
−1
3 =
= 8 ± 12
√
−1 − 6 ± (−1) ·
√
−1 = 2 ± 11
√
−1.
Tedy při formálně správném výpočtu s použitím „imaginárníÿ odmocniny z čísla −1 do-
staneme správný (a přitom reálný) výsledek x = 4.
Podobné úvahy vedly k zavedení oboru komplexních čísel C. Komplexním číslem ro-
zumíme číslo z tvaru z = x + j y, kde x, y ∈ R a j je tzv. imaginární jednotka, pro kterou
platí j2 = −1.
Reálná čísla
Množinu M , jejíž všechny prvky jsou čísla, nazýváme číselnou množinou . Pokud ne-
řekneme výslovně nic jiného, budeme v dalším hovořit o číselných množinách reálných
čísel.