Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Pomocí okolí můžeme definovat pojem tzv. hromadného bodu množiny, který budeme
potřebovat při zavádění pojmu limity:

10

Úvod

Definice 1.3. Bod a ∈ R je hromadný bod množiny M ⊆ R, jestliže v každém jeho
redukovaném okolí leží alespoň jeden bod x ∈ M .

Příklad 1.4.

1. Každý bod intervalu (0, 1i je hromadný. Navíc bod 0, který do intervalu nepatří, je

jeho hromadným bodem.

2. Množina N má v R jediný hromadný bod ∞.

3. Bod 2 množiny M = (0, 1) ∪ {2} ∪ (3, ∞) není jejím hromadným bodem, neboť jeho

okolí U (2) = (2 −

1
2 , 2 +

1
2 ) nemá s M jiný společný bod než 2. Takový bod se nazývá

izolovaný bod množiny M .

Suprémum, infimum, maximum, minimum, ohraničené (ome-
zené) množiny

Je-li M ⊂ R, a ∈ R, zavedeme označení:

M ≤ a (resp. a ≤ M ) ⇔ ∀x ∈ M : x ≤ a

(resp. ∀x ∈ M : a ≤ x).

Definice 1.5.

Platí-li M ≤ a, a ∈ R, řekneme, že a je horní mez (závora, ohraničení) množiny M a
že množina M je shora ohraničená ,

platí-li a ≤ M, a ∈ R, řekneme, že a je dolní mez (závora, ohraničení) množiny M a
že množina M je zdola ohraničená ,

řekneme, že a ∈ R je největší prvek množiny M a píšeme a = max M , jestliže platí
M ≤ a ∧ a ∈ M ,

řekneme, že a ∈ R je nejmenší prvek množiny M a píšeme a = min M, jestliže platí
a ≤ M ∧ a ∈ M .

Příklad 1.6. min (−2, 3i neex., max (−2, 3i = 3; max N neex., min N = 1.

Definice 1.7. Nechť M ⊂ R.

Nejmenší horní mez množiny M nazýváme suprémum množiny M . Není-li množina
M shora ohraničená, považujeme za její suprémum ∞. Píšeme