Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Funkce f ◦ g se nazývá složená funkce, funkce f vnější složka a funkce g vnitřní
složka složené funkce f ◦ g.
1.2 Funkce, zobrazení
17
Definičním oborem složené funkce je množina Df◦g = g
−1(D
f ) = {x ∈ Dg |g(x) ∈ Df }.
Vznik složené funkce ilustruje následující obrázek:
Obr. 1.4: Složená funkce
Příklad 1.21. Utvoříme složené funkce f ◦ g resp. f ◦ g ◦ h, jestliže jsou zadány jednotlivé
složky:
a)
f :
f (u) = au;
u ∈ R, (a ≥ 0)
g :
g(y) = cos y;
y ∈ R
h :
h(x) =
1−x2
1+x2 ;
x ∈ R
f ◦ g ◦ h : f (g(h(x))) = a
cos
1−x2
1+x2
; x ∈ R
b)
f :
f (y) =
√
1 + 2y;
y ∈ h−
1
2 , +∞)
g :
g(x) = sin x;
x ∈ h−
π
2 ,
π
2 i
f ◦ g : f (g(x)) =
√
1 + 2 sin x;
Určíme Df◦g:
Df◦g = g
−1(D
f ) = g
−1 (h−1
2
,∞
)) = {x |sin x ∈ h− 1
2
,∞
) ∧ x ∈ h− π
2
,
π
2 i } =
= |− 1
2
=sin(−
π
6
)
| =
D
−
π
6
,
π
2
E
c)
f :
f (x) =
0
x < 0
1 − x x ≥ 0
a
g :
g(x) = sgn x
f ◦ g : f (g(x)) =
0
sgn x < 0
1 − sgn(x) sgn x ≥ 0
;
18
Úvod
sgn x =
−1 x < 0
0 x = 0
1 x > 0
tedy
sgn x
< 0 x < 0
≥ 0 x ≥ 0
Odtud
f (g(x)) =
0
x < 0
1 − 0 x = 0
1 − 1 x > 0
neboli f (g(x)) =
0 x 6= 0
1 x = 0
Skládání funkcí si můžete vyzkoušet také pomocí tohoto Mapletu.
Dále připomeneme pojmy, které jsou vám jistě dobře známé ze střední školy:
Funkce prosté a funkce inverzní
Definice 1.22. Funkce f se nazývá prostá , jestliže platí:
∀x1, x2 ∈ D : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
Příklad 1.23. Funkce
f : f (x) = x; x ∈ R
f : f (x) = x2; x ∈ h0, ∞)