Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Je-li p perioda funkce f , pak kp, kde k 6= 0 je libovolné celé číslo, je také perioda funkce
f . Existuje-li nejmenší kladné číslo p, které je periodou funkce f , nazývá se primitivní
perioda.

Příklad 1.36.

a) Funkce f : y = x − [x] je periodická s periodou 1:

Je [x + 1] = [x] + 1, tedy f (x + 1) = (x + 1) − [x + 1] = x + 1 − [x] − 1 = x − [x] = f (x).
(Viz obr.1.17 vlevo.)

b) Funkce g : y = (−1)[x] je periodická s periodou 2:

Protože [x + 2] = [x] + 2, je g(x + 2) = (−1)[x+2] = (−1)[x](−1)2 = (−1)[x] = g(x).
(Viz obr.1.17 vpravo.)

Pro konstrukci grafu periodické funkce postačí, sestrojíme-li jej na libovolném polouza-
vřeném intervalu délky p. Celý graf pak dostaneme z této části jejím posunutím ve směru
osy x o délku kp pro všechna celá k.

24

Úvod

Obr. 1.17: Periodické funkce

Nejznámějšími příklady periodických funkcí jsou funkce goniometrické – sin x, cos x,
tg x, cotg x. Prvé dvě mají primitivní periodu 2π, druhé dvě π.
Příkladem funkce, která nemá primitivní periodu, je libovolná konstanta – její periodou
je každé nenulové reálné číslo.

Funkce ohraničené

Definice 1.37.

• Funkce f se nazývá shora ohraničená na množině M ⊂ Df , existuje-li číslo c

takové, že ∀x ∈ M : f (x) ≤ c.

• Funkce f se nazývá zdola ohraničená na množině M ⊂ Df , existuje-li číslo d

takové, že ∀x ∈ M : d ≤ f (x).

• Funkce f se nazývá ohraničená na množině M ⊂ Df , je-li na ní ohraničená shora

i zdola.

Označíme-li větší z čísel |c|, |d| jako K, platí pro ohraničenou funkci ∀x ∈ M : |f (x)| ≤ K.