Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

f : f (x) = sin x; x ∈ h−

π

2 ,

π

2 i

f : f (x) = cos x; x ∈ h0, πi

jsou prosté, avšak funkce

f1 : f1(x) = x

2; x ∈ R

f2 : f2(x) = sin x; x ∈ R

f3 : f3(x) = cos x; x ∈ R

nejsou prosté: Zřejmě je

f1(1) = 1

2 = f

1(−1) = (−1)

2 = 1,

dokonce platí

∀x ∈ R : f1(x) = f1(−x),

analogicky f2(x) = sin x = f2(x + 2π) = sin (x + 2π).

Definice 1.24. Je-li f prostá funkce, potom inverzní funkcí k funkci f rozumíme
funkci f −1, jejímž definičním oborem je obor hodnot funkce f a pro každou dvojici
(x, y), x ∈ Df , y ∈ Hf , platí y = f (x) právě když x = f

−1(y).

Příklad 1.25.

f : f (x) = x2, x ∈ h0, ∞); f −1 : f −1(y) =

√

y, y ∈ h0, ∞)

f : f (y) = ay, y ∈ R;

f −1 : f −1(x) = log

a x,

x ∈ (0, ∞)

1.2 Funkce, zobrazení

19

Obr. 1.5: y = x2, y =

√

x

Obr. 1.6: y = ex, y = ln x

f : f (x) = sin x, x ∈ h−

π

2 ,

π

2 i;

f −1 : f −1(x) = arcsin x, x ∈ h−1, 1i

f : f (x) = cos x, x ∈ h0, πi;

f −1 : f −1(x) = arccos x, x ∈ h−1, 1i

Obr. 1.7: y = sin x, y =arcsin x

Obr. 1.8: y = cos x, y =arccos x

f : f (x) = tg x, x ∈ (−

π

2 ,

π

2 );

f −1 : f −1(x) = arctg x, x ∈ R

f : f (x) = cotg x, x ∈ (0, π); f −1 : f −1(x) = arccotg x, x ∈ R

Jestliže tedy bod [a, b] leží na grafu funkce f , takže b = f (a), je f −1(b) = a, tedy

bod [b, a] leží na grafu funkce f −1; přitom body [a, b], [b, a] jsou symetrické podle přímky
y = x. Platí tedy (jak se můžeme přesvědčit v obrázcích k příkladu 1.25):