Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

sup M = min {x | x ∈ R ∧ M ≤ x}.

Největší dolní mez množiny M nazýváme infimum množiny M . Není-li množina M
zdola ohraničená, považujeme za její infimum −∞. Píšeme

inf M = max {x | x ∈ R ∧ x ≤ M }.

Příklad 1.8. inf (−2, 3i = max {x ∈ R | x ≤ (−2, 3i} = max {x ∈ R | x ≤ −2} = −2,

sup (−2, 3i = min {x ∈ R | x ≥ (−2, 3i} = min {x ∈ R | x ≥ 3} = 3.

1.1 Množiny

11

Příklad 1.9. sup N = min {x ∈ R | N ≤ x} = min {∞} = ∞.

Bez důkazu uvedeme velmi důležitou větu:

Věta 1.10. Každá podmnožina R má právě jedno suprémum a právě jedno infimum.

Při axiomatické výstavbě oboru reálných čísel se uvádí následující Archimedův axiom:

∀ a ∈ (0, ∞) ∃ n ∈ N : a ≤ n.

Platnost tohoto axiomu využijeme v následujícím příkladu:

Příklad 1.11. Ukážeme, že platí tvrzení: ∀ε > 0 ∃n ∈ N :

1

n < ε.

Řešení.

∀ε : ε > 0 ⇒

1

ε

> 0 ⇒ |Archimedův axiom| ⇒ ∃n ∈ N :

1

ε

< n

a poslední výrok je ekvivalentní s dokazovaným tvrzením.

Shrnutí

V tomto odstavci jsme vyšetřovali číselné množiny:

• množinu reálných čísel R a její podmnožiny: N, Z, Q, intervaly.

Pro obor reálných čísel jsme zavedli nové pojmy :

• rozšíření R o nevlastní body ∞, −∞: R,

• okolí bodu x ∈ R: interval (x − ε, x + ε),

• redukované (ryzí) kolí bodu x ∈ R: množina (x − ε, x + ε) \ {x},

• hromadný bod množiny:

bod, v jehož libovolném redukovaném okolí leží ale-

spoň jeden bod dané množiny,

• horní (resp. dolní) mez (závora) množiny:

bod z R, který je větší (resp. menší)