Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Nejčastěji užívanými množinami reálných čísel jsou intervaly ; připomeňme jejich defi-
nici:

1.1 Množiny

9

Definice 1.1. Nechť platí a, b ∈ R, a < b. Množina

1. (a, b) = {x|a < x < b} se nazývá otevřený interval,

2. ha, bi = {x|a ≤ x ≤ b} se nazývá uzavřený interval,

3. ha, b) = {x|a ≤ x < b} se nazývá zleva uzavřený a zprava otevřený interval,

4. (a, bi = {x|a < x ≤ b} se nazývá zleva otevřený a zprava uzavřený interval.

Vzhledem k uspořádání reálných čísel je vhodné zavést symboly −∞ a ∞ předpisem

∀x ∈ R :

(−∞ < x) ∧ (x < ∞).

Body −∞ a ∞ se nazývají nevlastní body reálné osy.

Zavedeme označení: R ∪ {−∞, ∞} = R.

Dále definujeme následující intervaly:

1. (a, ∞) = {x|a < x},

2. ha, ∞) = {x|a ≤ x},

3. (−∞, b) = {x|x < b},

4. (−∞, bi = {x|x ≤ b}.

Podobně píšeme R = (−∞, ∞).

Speciálním případem intervalů jsou tzv. okolí bodu:

Definice 1.2. Okolím bodu a ∈ R (také ε- okolím) rozumíme množinu

U (a, ε) = {x ∈ R| |x − a| < ε} = (a − ε, a + ε),

bod a se nazývá střed okolí a číslo ε poloměr okolí. Množinu

U

∗(a, ε) = U(a, ε) \ {a} = (a − ε, a) ∪ (a, a + ε) = {x ∈ R| 0 < |x − a| < ε}

budeme nazývat redukovaným (ryzím ) okolím bodu a ∈ R .

(Pro naše potřeby obvykle předpokládáme, že ε je libovolně malé.)

Není-li poloměr okolí ε podstatný, píšeme místo U (a, ε) a U ∗(a, ε) pouze U (a) a U ∗(a).

Okolím U (∞) bodu ∞ budeme rozumět každý interval (K, ∞) a okolím U (−∞) bodu
−∞ budeme rozumět každý interval (−∞, K) .