Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

f

g , cf následujícími předpisy:

f + g : (f + g)(x) = f (x) + g(x); Df+g = Df ∩ Dg
f − g : (f − g)(x) = f (x) − g(x); Df−g = Df ∩ Dg
f g :

(f g)(x) = f (x)g(x);

Dfg = Df ∩ Dg

f

g :

f

g (x) =

f (x)

g(x) ;

D f

g

= {x ∈ Df ∩ Dg|g(x) 6= 0}

cf :

(cf )(x) = cf (x);

Dcf = Df

Tyto nové funkce budeme nazývat součet, rozdíl, součin, podíl funkcí f, g a c-
násobek funkce f . Vzhledem k výše uvedené poznámce o konstantě, c-násobek funkce
f je speciálním případem součinu funkcí.

Všimněme si dále, že zatímco definice složené funkce, prosté funkce a inverzní funkce
jsou speciální případy stejných pojmů pro zobrazení, není možné převést na libovolná
zobrazení definice algebraických operací mezi funkcemi, neboť zde je podstatně využito
algebraické struktury množiny R.

Monotonní funkce

Definice 1.30. Řekneme, že funkce f je na množině M ⊂ Df

• rostoucí, jestliže ∀x1, x2 ∈ M : x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2),

• klesající, jestliže ∀x1, x2 ∈ M : x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2),

• nerostoucí, jestliže ∀x1, x2 ∈ M : x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2),

22

Úvod

• neklesající, jestliže ∀x1, x2 ∈ M : x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

Rostoucí a klesající funkce se nazývají ryze monotónní , funkce neklesající a nerostoucí
se nazývají monotónní.

Je-li f ryze monotonní na Df , potom je jistě prostá, a proto existuje inverzní funkce f

−1.

Předpokládejme pro určitost, že f je rostoucí. Označíme-li y1 = f (x1), y2 = f (x2) pro
x1, x2 ∈ Df , je y1 < y2 právě když x1 < x2, avšak x1 = f

−1(y

1), x2 = f