Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

platí

lim

x→0

x · χ(x) = 0,

protože funkce χ je ohraničená a lim

x→0

x = 0.

Příklad 2.24. Nechť Pm(x) je polynom stupně m a Qn(x) polynom stupně n. Máme
vypočítat

a)

lim

x→∞

Pm(x)

Qn(x)

,

b)

lim

x→a

Pm(x)

Qn(x)

, je-li Pm(a) = Qn(a) = 0.

Řešení.

a) Nechť

Pm(x) = amx

m + a

m−1x

m−1 + · · · + a

1x + a0,

Qn(x) = bnx

n + b

n−1x

n−1 + · · · + b

1x + b0.

Rozlišíme tři případy:

1. m < n: Vyšetřovanou racionální lomenou funkci rozšíříme výrazem x−n (čita-

tele i jmenovatele dělíme nejvyšší mocninou x, která se ve zlomku vyskytuje);
dostaneme

lim

x→∞

Pm(x)

Qn(x)

= lim

x→∞

amx

m−n + a

m−1x

m−n−1 + · · · + a

1x

1−n + a

0x

−n

bn + bn−1x−1 + · · · + b1x1−n + b0x−n

;

limita jmenovatele je zřejmě rovna bn (ostatní sčítance obsahují záporné moc-
niny x, a tedy mají nulovou limitu), protože podle předpokladu je m < n, jsou i
všechny mocniny x v čitateli záporné, a tedy limita čitatele je rovna nule. Proto
limita celého zlomku je rovna nule.

2. m = n: Opět dělíme čitatele i jmenovatele vyšetřovaného zlomku nejvyšší moc-

ninou x, která je stejná v čitateli i jmenovateli a je rovna n. Dostaneme

lim

x→∞

Pn(x)

Qn(x)

= lim

x→∞

an + an−1x

−1 + · · · + a

1x

1−n + a

0x

−n

bn + bn−1x−1 + · · · + b1x1−n + b0x−n

,

mocniny x v čitateli i jmenovateli jsou záporné, a tedy je limita celého zlomku
rovna

an

bn

.

3. m > n: Nejdříve z polynomu v čitateli i z polynomu ve jmenovateli vytkneme

koeficient u nejvyšších mocnin x:

lim

x→∞

Pm(x)

Qn(x)

=

am

bn

lim

x→∞

xm +

am−1

am

xm−1 + · · · +

a1

am

x +

a0

am

xn +

bn−1

bn

xn−1 + · · · +

b1

bn

x +

b0

bn

.

Čitatele i jmenovatele vydělíme nejvyšší mocninou x vyskytující se ve jmeno-
vateli zlomku, tedy n a dostaneme: