Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
= lim
x→2
(x − 2)(x + 2)
(x − 2)(x − 1)
= lim
x→2
x + 2
x − 1
= 4
b)
lim
x→1
x2 − 4
x2 − 3x + 2
= lim
x→1
x2 − 4
x − 2
·
1
x − 1
= 3 lim
x→1
1
x − 1
=
(
3 lim
x→1+
1
x−1 = ∞
3 lim
x→1−
1
x−1 = −∞
c)
lim
x→1
x3 − 4x2 + 5x − 2
x5 − 3x + 2
= lim
x→1
(x − 2)(x − 1)2
(x − 1)(x4 + x3 + x2 + x − 2)
=
= lim
x→1
(x − 1)(x − 2)
x4 + x3 + x2 + x − 2
= 0
d)
lim
x→1
x5 − 3x + 2
x3 − 3x2 + 3x − 1
= lim
x→1
(x − 1)(x4 + x3 + x2 + x − 2)
(x − 1)3
=
= 2 lim
x→1
1
(x − 1)2
= ∞
e)
lim
x→∞
x2 − 4
x2 − 3x + 2
= lim
x→∞
1 − 4
1
x2
1 − 3
1
x + 2
1
x2
= 1
f)
lim
x→∞
(x + 3)(x + 4)(x + 5)
x4 + x − 11
= lim
x→∞
1
x (1 +
3
x )(1 +
4
x )(1 +
5
x )
1 +
1
x3 −
11
x4
= 0
g)
lim
x→∞
7x3 − 2x
6 − 13x2
= −
7
13
lim
x→∞
x3 −
2
7 x
x2 −
6
13
= −
7
13
lim
x→∞
x(1 −
2
7
1
x2 )
1 −
6
13
1
x2
= −∞
Limita složené funkce
Věta 2.26. Nechť
1. a je hromadný bod množiny Df , kde f = h ◦ g,
2.2 Limita
67
2. existují limity
c = lim
x→a
g(x),
d = lim
t→c
h(t),
3. na jistém okolí bodu a je pro x 6= a také g(x) 6= c.
Potom existuje limita složené funkce f v bodě a, přičemž
lim
x→a
f (x) = d.
Poznámka: Je-li funkce h spojitá v bodě c (viz následující kapitola), je možno podmínku
3. vynechat.
V následujícím příkladě naznačíme techniku počítání limit:
Příklad 2.27. Máme vypočítat následující limity:
a)
lim
x→0
√
2 + x −
√
2
x
b)
lim
x→4
√
x − 2
√
x3 − 8
c)
lim
x→0
sin 4x + sin 7x
sin 3x
d)
lim
x→0
x
arctg x
e)
lim
x→0
1 − cos x
x2
f)
lim
x→0
tg x − sin x
sin
3 x
g)
lim
x→∞
√
3x2 + 9
2x + 3
h)
lim
x→∞
q
x + 2
p
3x + 4