Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Obr. 2.9: f (x) = x +

1

x−1

Asymptoty lze počítat a znázornit pomocí tohoto Mapletu.

2.2 Limita

71

Pro zájemce

Důkaz věty o jednostranných limitách:

a) Jestliže existuje lim

x→a

f (x) = b, existují (podle věty 2.9 o relativní limitě) i obě jednostranné limity, protože

lim

x→a+

f (x) = lim

x→a

f /(a,∞)(x)

a

lim

x→a−

f (x) = lim

x→a

f /(−∞,a)(x).

b) Jestliže existují jednostranné limity a rovnají se b, potom ke každému okolí U (b) existují okolí U1(a), U2(a) taková,

že pro x ∈ U1(a) ∩ Df ∩ (−∞, a) je f (x) ∈ U(b) a pro x ∈ U2(a) ∩ Df ∩ (a, ∞) je také f (x) ∈ U(b) . Označíme-li
U (a) = U1(a) ∩ U2(a), potom pro x ∈ U∗(a) ∩ Df je f (x) ∈ U(b).

Důkaz věty o aritmetických operacích: Naznačíme důkaz pro limitu součtu.

Máme ukázat, že lim

x→a

(f (x) + g(x)) = b + c. Zvolme tedy libovolně ε > 0; máme najít δ > 0 tak, aby pro každé x ∈ U ∗(a) ∩

∩ Df+g platilo |f (x) + g(x) − (b + c)| < ε.

Položme 1 =

ε
2

. Protože platí lim

x→a

f (x) = b a lim

x→a

g(x) = c, existují δ1, δ2 tak, že

∀x : 0 < |x − a| < δ1 ⇒ |f (x) − b| < ε1

a

∀x : 0 < |x − a| < δ2 ⇒ |g(x) − c| < ε1.

Položme δ = min{δ1, δ2}. Potom

∀x : 0 < |x − a| < δ ⇒ |(f + g)(x) − (b + c)| = |(f (x) − b) + (g(x) − c)| ≤ |f (x) − b| + |g(x) − c| < ε1 + ε1 = ε

a to jsme měli dokázat.

Důkaz věty o limitě složené funkce: Ke každému U (d) existuje U (c) a ke každému U (c) existuje U (a) tak, že x 6=

= a, x ∈ U (a) ⇒ g(x) ∈ U (c) a podle 3. g(x) 6= c ⇒ h(g(x)) = f (x) ∈ U (d).