Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Obr. 2.10: Geometrická představa o limitě
13. Nechť f (x) = xx pro x > 0.
a) Pomocí kalkulačky doplňte tabulku
x
1,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,01
xx
2.2 Limita
75
b) Jaká je asi nejmenší hodnota funkce f na intervalu (0, 1)?
c) Myslíte, že lim
x→0+
xx existuje? Jestliže ano, čemu je asi rovna?
14. Může mít polynom a) svislou asymptotu, b) asymptotu se směrnicí? Jestliže ano,
uveďte příklad, jestliže ne, odůvodněte.
15. Uveďte příklad funkce, která má následující asymptoty:
a) x = 1,
x = 2,
x = 3,
b) x = −1,
x = 1,
y = 0,
c) x = −1,
x = 1,
y = −2,
y = 2.
Cvičení
1. Vypočítejte následující limity:
a)
lim
x→4
x2+7x−44
x2−6x+8
b)
lim
x→1
1
x2−1 −
2
x4−1
c)
lim
x→0
(1+3x)4−(1+4x)3
x2
d)
lim
x→∞
x2+2x+1
5x
e)
lim
x→∞
x2+x−1
2x2−x+1
3
f)
lim
x→∞
(4x−1)100(3x+1)200
(6x+5)300
2. Vypočítejte
a)
lim
x→−2
√
6+x−2
x+2
b)
lim
x→∞
√
x − 2 −
√
x
c)
lim
x→∞
3
√
1 − x3 + x
d)
lim
x→∞
4
√
x5+
5
√
x3+
6
√
x8
3
√
x4+2
3. Vypočítejte
a)
lim
x→0
tg 5x
tg 6x
b)
lim
x→0
cos x−cos3 x
x2
c)
lim
x→0
arcsin x
x
d)
lim
x→0
sin x
x3
4. Vypočítejte limity zprava a zleva daných funkcí f v bodě a, jestliže
a)
f (x) = x e−1/x,
a = 0
b)
f (x) =
1
1+e1/x
,
a = 0
c)
f (x) =
21/x+3
31/x+2
,
a = 0
d)
f (x) =
x(x+2)
|x+2| ,
a = −2
e)
f (x) =
x
| tg x| ,
a = 0
f)
f (x) = arctg
1
1+x ,
a = −1
5. Vypočítejte limity posloupností
a)
lim
n→∞
1 +
1
n+5
n+6
b)
lim
n→∞
n+2
n
3n
2
c)
lim
n→∞
1 +
1
n
1
n
d)
lim
n→∞
(
√
n + 2 −
√
n)
e)
lim
n→∞
(
√
n(
√
n + 1 −
√
n))
f)
lim
n→∞
an
1+an ,
a > 0
76
Diferenciální počet
6. Najděte asymptoty následujících funkcí:
a) f (x) = 3x +
3
x−2 ,
b)
f (x) =
1
x+1 +
1
x +
1
x−1 ,
c)
f (x) =
x3+2
x2−4 ,
d)
f (x) = x +
2x
x2−1 ,
e)
f (x) =
3
√
x3 + 4x2, f ) f (x) =
x
√
x2+1
2x2−1 ,
g) f (x) = 2x −
2 cos x
x
,
h) f (x) =
x sin x
1+x2 ,