Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

min

x∈ha,bi

f (x) = f (α),

max

x∈ha,bi

f (x) = f (β).

Tedy f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) pro všechna x ∈ ha, bi.

80

Diferenciální počet

• Věta mezihodnotová

Funkce f ∈ Cha,bi nabývá na tomto intervalu všech hodnot mezi svým maximem a
minimem na tomto intervalu; tedy spojitým obrazem intervalu je interval.

Poznámka: Např. funkce y = x je spojitá na otevřeném intervalu (0, 1) a je na něm

omezená; avšak na tomto intervalu nedosahuje svého supréma sup

x∈(0,1)

x = 1, tj. neexistuje

x0 ∈ (0, 1) takové, že by funkční hodnota v tomto bodě byla rovna 1; funkce je rovna 1 pro
x = 1. Vidíme, že požadavek spojitosti funkce na uzavřeném intervalu ha, bi (zahrnujícím
oba krajní body a a b) je zásadní.

Zřejmě sup arctg x =

π

2 . Neexistuje však bod x, v němž by funkce arctg x nabývala

hodnoty

π

2 ; tedy pro x ≥ 0 nedosahuje svého maxima. Podmínky výše uvedené věty jsou

i v tomto případě porušeny, protože definiční obor spojité funkce arctg x není omezený.

Důsledky:

• Je-li f ∈ Cha,bi a f (a) · f (b) < 0, pak v otevřeném intervalu (a, b) existuje alespoň

jeden bod c, pro nějž f (c) = 0.

• Každá polynomiální rovnice Pn(x) = 0 lichého stupně má nejméně jedno řešení.

Příklad 2.41. Rovnice cos x = x má kořen ležící na intervalu (0, π), protože
f (0) > 0, f (π) < 0 kde f (x) = cos x − x a f (x) je spojitá funkce. (Viz obr. 2.12 a 2.13)

Obr. 2.12: f (x) = cos x, f (x) = x

Obr. 2.13: f (x) = cos x − x

2.3 Spojitost

81

Shrnutí

V této kapitole jsme vyšetřovali pojem spojitosti. Řekneme, že funkce f je

• spojitá v bodě a: