Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

0

−(x0)(x − x0),

pro x < x0

se nazývají pravá resp. levá polotečna ke grafu funkce f v bodě [x0, f (x0)].

Obr. 2.15: Polotečny ke grafu funkce

Jestliže v nějakém bodě grafu
funkce neexistuje derivace, ale
existuje některá jednostranná
derivace,

potom

polopřímku

procházející příslušným bodem
na grafu funkce a mající směr-
nici rovnu této jednostranné
derivaci je polotečnou (viz sou-
sední obrázek).

Může se stát, že v nějakém bodě x0 pro funkci f platí lim

x→x0

f (x)−f (x0)

x−x0

= ∞ nebo −∞,

nebo je nevlastní pouze jedna z jednostranných limit tohoto podílu. I v těchto případech
dostáváme jistou informaci o chování grafu funkce f v okolí bodu [x0, f (x0)]:

Definice 2.46.

a) Je-li

lim

x→x0

f (x)−f (x0)

x−x0

= ∞ (−∞),

je přímka o rovnici x = x0 svislá tečna ke grafu funkce f v bodě [x0, f (x0)].

b) Je-li

lim

x→x

+
0

f (x)−f (x0)

x−x0

= ∞ (−∞)

resp.

lim

x→x

−
0

f (x)−f (x0)

x−x0

= ∞ (−∞),

je přímka o rovnici x = x0 pravá resp. levá svislá polotečna ke grafu funkce f
v bodě [x0, f (x0)].

86

Diferenciální počet

Obr. 2.16: Svislá tečna a polotečna

Graf funkce f v sousedním ob-
rázku má svislou tečnu x = 2 v
bodě [2, 1] a levou svislou polo-
tečnu x = 1 v bodě [1, 1].

Derivace na intervalu

Definice 2.47. Předpokládejme, že funkce f je definovaná na otevřeném intervalu (a, b)
a má v každém bodě x ∈ (a, b) derivaci f 0(x). Potom je na (a, b) definovaná funkce
f 0 : x 7→ f 0(x), kterou nazýváme derivací funkce f .

Poznámky k definici

1. Derivace funkce f se též někdy místo f 0(x) označuje symbolem

d f (x)

dx

nebo

dy
dx (tzv.

Leibnizův zápis derivace).

2. Funkci f , která má derivaci na intervalu (a, b) nazýváme diferencovatelnou na (a, b)