Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

.

3. Definici je možno použít i pro uzavřený interval ha, bi, potom však kromě existence

derivace v každém bodě intervalu (a, b) požadujeme existenci derivace zprava v bodě
a a existenci derivace zleva v bodě b.

Víme, že geometricky znamená derivace směrnici tečny ke grafu funkce; na obrázku 2.17
je nakreslen graf spojité funkce f zadané po částech a v obrázku 2.18 je graf její derivace
f 0.

Obr. 2.17: Graf funkce f

V animaci 2.19 je graf funkce spolu s pohybující se tečnou, jejíž směrnice je hodnota

derivace v daném bodě.

2.4 Derivace

87

Obr. 2.18: Graf derivace f 0

Obr. 2.19: Graf funkce a její derivace jakožto směrnice tečny (animace)

Máme-li v některé konkrétní situaci (např. ve fyzice) počítat derivaci nějaké zadané

funkce, potřebujeme znát derivace základních elementárních funkcí (tedy jakýsi slovník)
a početní pravidla pro derivaci (tedy gramatiku).

Toto vše odvodíme v příkladech a větách tohoto odstavce; získané poučky pak v závěru
shrneme v tabulce.

Příklad 2.48. Derivace některých elementárních funkcí

a) (c)0 = 0 (c = konst.)

b)

(xn)0 = nxn−1 n ∈ N

c)

(sin x)0 = cos x

d) (cos x)0 = − sin x

e)

(ex)0 = ex

88

Diferenciální počet

Řešení.

a) (c)0 = lim

h→0

f (x+h)−f (x)

h

= lim

h→0

c−c

h

= 0

b) (xn)0 = lim

h→0

(x+h)n−xn

h

=

= lim

h→0

1

h

h

xn + (

n

1 )x

n−1h + (

n

2 )x

n−2h2 + · · · + (

n

n − 1 )x · h

n−1 + hn − xn

i

=

= lim

h→0

1

h

h

nxn−1h + (

n

2 )x

n−2h2 + · · · + nxhn−1 + hn

i

=

= lim

h→0

h

nxn−1 + (

n

2 )x

n−2h + · · · + nxhn−1 + hn−1

i

= nxn−1

c) (sin x)0 = lim

h→0

1

h [sin(x + h) − sin x]

= lim

h→0

1

h [2 cos(x +

h

2 ) sin

h

2 ]

= lim

h→0

cos(x +

+

h

2 ) · lim

h→0

sin

h