Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

94

Diferenciální počet

Neurčité výrazy, L’Hospitalovo pravidlo

V tomto odstavci uvedeme pravidlo, které výrazně zjednoduší počítání limit funkcí v
bodech, kde není možné přímo dosadit – tak zvaných neurčitých výrazů:

Vyšetřujeme-li limitu lim

x→a

f (x)

g(x) , kde lim

x→a

g(x) = 0, nemůžeme použít větu o limitě podílu;

je-li navíc lim

x→a

f (x) = 0, nejedná se ani o žádnou nevlastní limitu. Přesto uvedený podíl

limitu může mít a to dokonce vlastní. Podobná situace vzniká, jsou-li limity funkcí f, g
nevlastní, nebo vyšetřujeme-li limitu rozdílu dvou funkcí, z nichž má každá nevlastní
limitu ∞ a podobně. Tyto a jim analogické případy limit nazýváme neurčité výrazy a
dělíme je do několika typů (lim označuje lim

x→a

):

1. Je-li lim f (x) = lim g(x) = 0, potom lim

f (x)

g(x) nazýváme neurčitým výrazem typu

0
0 .

2. Je-li lim f (x) = lim g(x) = ±∞, potom lim

f (x)

g(x) nazýváme neurčitým výrazem typu

∞
∞ .

3. Je-li lim f (x) = 0, lim g(x) = ±∞, potom lim f (x) · g(x) nazýváme neurčitým výra-

zem typu 0 · ∞.

4. Je-li lim f (x) = lim g(x) = ∞, potom lim f (x) − g(x) nazýváme neurčitým výrazem

typu ∞ − ∞.

5. Je-li lim f (x) = 1, lim g(x) = ∞, potom lim(f (x))g(x) nazýváme neurčitým výrazem

typu 1∞.

6. Je-li lim f (x) = ∞, lim g(x) = 0, potom lim(f (x))g(x) nazýváme neurčitým výrazem

typu ∞0.

7. Je-li lim f (x) = lim g(x) = 0, potom lim(f (x))g(x) nazýváme neurčitým výrazem

typu 00.

Uvedeme metodu na výpočet neurčitých výrazů prvních dvou typů; neurčité výrazy zbý-
vajících typů se vždy snažíme na některý z prvních dvou převést.

Věta 2.60. (První L’Hospitalovo pravidlo)
Nechť funkce f,g jsou diferencovatelné na některém U ∗(a) a platí