Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Dále jsme zavedli pojem diferenciál funkce – lineární část přírůstku funkce:

• diferenciál funkce f v bodě x0 vzhledem k přírůstku h :

df (x0) = f

0(x

0) h.

Ukázali jsme, jak můžeme využít derivací při výpočtu limit tzv. neurčitých výrazů
(limit, které nelze vypočítat jako funkční hodnoty) – uvedli jsme

• L’Hospitalovo pravidlo:

je-li lim

x→a

f (x) = lim

x→a

g(x) = 0, resp. je-li lim

x→a

f (x) =

= lim

x→a

g(x) = ∞ a současně je lim

x→a

f 0(x)

g0(x) = b, je také lim

x→a

f (x)

g(x) = b.

Na závěr kapitoly jsme uvedli tzv. věty o přírůstku funkce a jejich důsledky:

• Fermatova věta:

má-li funkce diferencovatelná na intervalu v nějakém bodě

tohoto intervalu největší resp. nejmenší hodnotu, musí mít v tomto bodě nulovou
derivaci,

• Rolleova věta:

má-li funkce diferencovatelná na nějakém intervalu v krajních

bodech tohoto intervalu nulové hodnoty, musí mít v některém vnitřním bodě
tohoto intervalu nulovou derivaci,

• Lagrangeova věta:

pro funkci diferencovatelnou na intervalu (a, b) a spojitou

na ha, bi existuje bod ξ ∈ (a, b) tak, že platí f (b) − f (a) = f 0(ξ)(b − a),

• platí-li pro funkci f na nějakém intervalu f 0(x) = 0, je funkce na tomto intervalu

konstantní,

• platí-li pro funkci f na nějakém intervalu f 0(x) > 0 resp. f 0(x) < 0, je funkce

na tomto intervalu rostoucí resp. klesjící,

100

Diferenciální počet

Pomocí pravidel pro počítání s limitami jsme odvodili pravidla pro výpočet derivací a
vztahy pro derivace základních elementárních funkcí; pravidla jsou shrnuty v následujících
tabulkách:

Slovník pro derivace

Vzorce platí všude, kde je definovaná funkce i derivace.

Funkce

Derivace

Funkce

Derivace

c

(konst.)

0

x

1

xn

n xn−1

xα

α xα−1

ex

ex

ax

ax ln a