Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

f

0

−(ξ) = f

0

+(ξ) = f

0

( ξ) = 0.

Důkaz důsledků Lagrangeovy věty:

1. Směr f je konstantní na J0

⇒ f 0(x) = 0 na J0 jsme ukázali přímým výpočtem z definice. Prověříme opačný

směr:
Nechť f 0(x) = 0 na J0. Potom pro libovolná x1, x2 ∈ J0 existuje ξ ∈ (x1, x2) tak, že platí
f 0(ξ) =

f (x2)−f (x1)

x2−x1

. Podle předpokladu je f 0(ξ) = 0, tedy f (x2) = f (x1) a funkce f je na J0 konstantní.

98

Diferenciální počet

2.

a) Předpokládejme, že f je neklesající na J . Potom pro každé dva navzájem různé body x, x∗ ∈ J0 platí

f (x∗) − f (x)

x∗ − x

≥ 0

⇒

f

0(x) = lim

x∗→x

f (x∗) − f (x)

x∗ − x

≥ 0.

b) Předpokládejme nyní f 0(x) ≥ 0 na J0. Potom pro x1, x2 ∈ J , x1 < x2 platí podle Lagrangeovy věty

f (x2) − f (x1) = f

0(ξ)(x

2 − x1) ≥ 0,

neboli f (x1) ≤ f (x2).

Pro nerostoucí funkci by důkaz probíhal obdobně.

3. Je-li f rostoucí, potom podle předchozí věty je f (x) ≥ 0 na J0 , přičemž na žádném podintervalu není f

0(x) = 0,

protože f by byla na tomto podintervalu konstantní.
Je-li f (x) ≥ 0, přičemž není f 0(x) = 0 na žádném podintervalu intervalu J0, potom f je neklesající, a protože není
konstantní na žádném podintervalu, musí být rostoucí.

2.4 Derivace

99

Shrnutí

V této kapitole jsme definovali základní prostředek diferenciálního počtu – derivaci
funkce:

• derivace funkce f v bodě x0:

f 0(x0) = lim

x→x0

f (x)−f (x0)

x−x0

,

• derivace zleva (zprava):

je definovaná pomocí příslušných jednostranných li-

mit,

• derivace funkce f na intervalu:

funkce f 0 : x → f 0(x).

Derivace popisuje „rychlost, s jakou se mění daná veličinaÿ, nejen ve fyzice, ale i v
chemii, biologii, ekonomii, managementu,. . .