Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

di
dt v čase t = 2π/9 s, je-li L = 0,03 H.

14. K zadaným funkcím f najděte přírůstek funkce ∆f a diferenciál df v čísle x0 pro

daný přírůstek ∆x:

a)

f (x) = 3x2,

x0 = 1,

∆x = 10−1,

b)

f (x) = x3 − 4x2 − 10x − 12,

x0 = 0,

∆x = 0, 2,

c)

f (x) = arc cotg x,

x0 = 1,

∆x = 0, 3,

d)

f (x) = ln

√

x2 − 2x,

x0 = 3,

∆x = −0, 02.

15. Vypočítejte přibližně pomocí diferenciálu následující hodnoty; výsledky porovnejte

s hodnotami nalezenými pomocí kalkulačky:

a) ln 25,02, ln 24,6, je-li ln 25

.

= 3,2189,

b) log 1001, je-li ln 10

.

= 2,3026,

c) tg 46◦,

d) arctg1,1,

e) 21,002.

16. Vypočtěte, o kolik se změní objem krychle, jestliže se délka její hrany zvětší z 6 cm

na 6,1 cm, a to a) přesně, b) pomocí diferenciálu. Získané výsledky porovnejte.

17. Koule má poloměr r. Najděte přírůstek a diferenciál a) objemu, b) povrchu koule

jako funkci poloměru r pro poloměr r = R a diferenci ∆r.

18. V elektrickém obvodu s konstantním napětím U se změní odpor R o ∆R. Vypočí-

tejte, o kolik se změní proud a) přesně, b) přibližně.

19. Pomocí L’Hospitalova pravidla vypočítejte následující limity:

a)

lim

x→∞

x3 + 2x2 − 1
5x3 − x2 + 2

b)

lim

x→−∞

x4 + x2 + x

2x3 − 5x

c)

lim

x→∞

x3 + x2 − x + 4

2x4 + x − 9

d) lim

x→1

x − 1

(ln x)2

e)

lim

x→0

ln(1 − x)

x3

f)

lim

x→∞

(x + 1)e

1

x−1

− x

g)

lim

x→0+

(sin x)ln x

h)

lim

x→∞

1 −

1
x

x

i)

lim

x→1−

(1 − x) ln(1 − x)

j)

lim

x→0

2 cos x − 2 + x2

x2 sin

2 x

k)

lim

x→0

1 + x + 2x3 − ex

sin

2 x

l)

lim

x→0

1 − cos2 x

x(1 + cos x)

20. Rezistorem s odporem R = 5 Ω teče proud i = 2t sin

3

t (A). Vypočítejte okamžitý