Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ln x
1
x
log
a x
1
x ln a
sin x
cos x
cos x
− sin x
tg x
1
cos2 x
cotg x
−
1
sin
2 x
arcsin x
1
√
1 − x2
arccos x
−
1
√
1 − x2
arctg x
1
1 + x2
arccotg x
−
1
1 + x2
sinh x
cosh x
cosh x
sinh x
tgh x
1
cosh
2 x
cotgh x
−
1
sinh
2 x
Gramatika pro derivace
Užitečné vzorce
(a f (x) + b g(x))
0
= a f 0(x) + b g0(x)
(f (x) g(x))
0
= f 0(x) g(x) + f (x) g0(x)
f(x)
g(x)
0
=
f 0(x) g(x) − f (x) g0(x)
g2(x)
(f [ϕ(x)])
0
= f 0[ϕ(x)] ϕ0(x)
Je-li f (x) > 0, g(x) > 0
platí:
[f (x)]
g(x)
= eg(x)·ln f(x)
log
g(x) f (x)
=
ln f (x)
ln g(x)
Obr. 2.23:
2.4 Derivace
101
Otázky a úkoly
1. Co je to derivace funkce a) v bodě, b) na intervalu?
2. Na příkladu funkce f dané předpisem f (x) = x2χ(x) =
x2 x ∈ Q
0
x 6∈ Q
pomocí
definice derivace ukažte, že funkce definovaná na R může mít derivaci pouze v
jednom bodě.
3. Body A = [2, 4] a B = [2 + ∆x, 4 + ∆y] paraboly y = x2 prochází sečna. Najděte
směrnici této sečny, jestliže ∆x = 1, ∆x = 0,1, ∆x = 0,01. Najděte též směrnici
tečny paraboly v bodě A.
4. Nechť f je funkce, jejíž hodnota v x je 4x2.
a) Vypočítejte [f (2, 1) − f (2)]/0,1.
b) Jak můžeme interpretovat zlomek v a), jestliže f znamená celkový zisk jisté
firmy (v milionech dolarů) v prvních x letech činnosti?
c) Jak můžeme interpretovat zlomek v a), jestliže f znamená druhou souřadnici
na grafu paraboly y = 4x2 ?
d) Jak můžeme interpretovat zlomek v a), jestliže f udává vzdálenost, kterou
urazí pohybující se částice v prvních x sekundách?
e) Jaký je význam hodnoty f 0(2) v případech c),d)? Jak byste tyto pojmy rozšířili
na případ b)?
5. Na obr. 2.24 jsou grafy tří funkcí f1, f2, f3. Pro která čísla a