Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

b) f je diferencovatelná na (a, b),

c) platí f (a) = f (b),

pak existuje bod ξ ∈ (a, b) tak, že f 0(ξ) = 0.

Věta 2.65. (Lagrangeova o přírůstku funkce) Jestliže

a) f je spojitá na ha, bi,

b) f je diferencovatelná na (a, b),

pak existuje ξ ∈ (a, b) takové, že

f

0(ξ) =

f (b) − f (a)

b − a

.

Obr. 2.21: Rolleova věta

Obr. 2.22: Lagrangeova věta

Uvedené věty, které se souhrnně nazývají větami o přírůstku funkce, jsou velmi

důležité z teoretického hlediska – pomocí nich se dokazují prakticky všechna důležitá
tvrzení o diferencovatelných funkcích - viz např. Důsledky za následujícími obrázky.
Důkazy neuvádíme; platnost tvrzení v nich obsažených názorně ukazují obrázky 2.21 a
2.22.

Důsledky: Nechť J značí interval, ať již otevřený, uzavřený, či polouzavřený, a J0

jeho vnitřek, tj. otevřený interval, který obsahuje právě vnitřní body intervalu J .

1. Funkce f je konstantní na J0, právě když f

0(x) = 0 na J

0.

2. Nechť funkce f je diferencovatelná na J . Potom f je neklesající (resp. nerostoucí)

na J , právě když

f

0(x) ≥ 0 (resp. f0(x) ≤ 0) na J

0.

2.4 Derivace

97

3. Nechť funkce f je diferencovatelná na J .

Potom f je rostoucí (resp. klesající) na J , právě když je f 0(x) ≥ 0 (resp. f 0(x) ≤ 0)
na J0, přičemž rovnost f

0 = 0 nenastane na žádném podintervalu intervalu J

0.

Příklad 2.66. Funkce f (x) = x5 má derivaci f 0(x) = 5 · x4 ≥ 0, přičemž f 0(x) = 0 pouze
v bodě 0. Funkce f tedy roste na (−∞, ∞).

Pro zájemce

Důkaz věty o derivaci a aritmetických operacích: První dva vztahy plynou bezprostředně z analogických tvrzení o
limitách; dokážeme c):