Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
· (−1) =
1
x
c) y = xa = ea ln x, y = eu, u = a ln x, x > 0:
dy
dx
=
dy
du
·
du
dx
= e
u ·
a
x
= e
a ln x ·
a
x
= x
a ·
a
x
= a · x
a−1
V následujícím příkladu použijeme odvozené vztahy při výpočtu derivace komplikovaněj-
ších funkcí:
Příklad 2.55. Máme vypočítat f 0, je-li f zadaná předpisem
a) f (x) =
4
q
x−
√
1+x2
x+
√
1+x2
, b)
f (x) = arctg
cos x
1+sin x
c) f (x) = (sin x)cos x
Řešení. a)
f (x) =
"
x −
√
1 + x2
x +
√
1 + x2
#
1
4
;
f
0(x) =
1
4
"
x −
√
1 + x2
x +
√
1 + x2
#−
3
4
"
x −
√
1 + x2
x +
√
1 + x2
#0
=
=
1
4
"
x +
√
1 + x2
x −
√
1 + x2
#
3
4
·
·
(x − (1 + x2)
1
2
)0 (x + (1 + x2)
1
2
) − (x − (1 + x2)
1
2
) (x + (1 + x2)
1
2
)0
(x +
√
1 + x2)2
=
=
1
4
"
x +
√
1 + x2
x −
√
1 + x2
#
3
4
·
·
(1 −
1
2 (1 + x
2)−
1
2
2x) (x + (1 + x2)
1
2
) − (x − (1 + x2)
1
2
) (1 +
1
2 (1 + x
2)−
1
2
2x)
(x +
√
1 + x2)2
=
=
po úpravě (1. a 3. závorku v čitateli převedeme na společného jmenovatele,
který je roven
√
1 + x2, a roznásobíme) dostaneme
=
2.4 Derivace
91
= −
1
2
√
1 + x2
"
x +
√
1 + x2
x −
√
1 + x2
#
3
4
x −
√
1 + x2
x +
√
1 + x2
= −
1
2
√
1 + x2
"
x −
√
1 + x2
x +
√
1 + x2
#
1
4
.
b)
f
0(x) =
1
1 +
cos x
1+sin x
2
cos x
1 + sin x
0
=
=
(1 + sin x)2
(1 + sin x)2 + cos2 x
(cos x)0(1 + sin x) − cos x(sin x)0
(1 + sin x)2
=
=
1
2 + 2 sin x
[− sin x(1 + sin x) − cos
2 x] = −
1
2
.
c)
f (x) = (sin x)
cos x = ecos x ln sin x,
f
0(x) = ecos x ln sin x (cos x ln sin x)0 =
= (sin x)
cos x
− sin x ln sin x + cos x
1
sin x
cos x
=
= (sin x)
cos x−1
cos
2 x − sin2 x ln sin x .