Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

2.4

Derivace

Motivace

a) Směrnice tečny:

Nechť Γ = {(x, y) | y = f (x)} je graf spojité funkce y = f (x). Zvolme na Γ bod
A = [x0, f (x0)] a jiný bod X = [x, f (x)]. Sečna S procházející body A a X svírá
s kladnou poloosou x úhel β. Pro tangens úhlu β platí

tgβ =

∆y

∆x

=

f (x) − f (x0)

x − x0

.

Nechť x → x0 ; pak pro spojitou funkci f se hodnota ∆y také bude blížit nule a
bod X se bude pohybovat podél Γ a bude se přibližovat k bodu A. Jestliže v tomto
limitním procesu pro poměr

∆y
∆x platí

∆y

∆x

−→ k (x −→ x0),

pak úhel β se bude také blížit k jistému úhlu α, tgα = k. Spolu se změnou β bude
sečna S rotovat kolem A a bude se v limitě přibližovat k přímce t procházející bodem
A a svírající úhel α s kladnou poloosou x. To znamená, že t je tečnou ke grafu Γ
v bodě A a

lim

x→x0

∆y

∆x

= lim

x→x0

tg β = tg α = k.

Jestliže se tedy poměr

∆y
∆x blíží konečné limitě pro x → x0, křivka Γ má v bodě A

tečnu, jejíž směrnice je rovna této limitě, a má tedy rovnici:

y − y0 = k(x − x0),

kde

k = lim

x→x0

f (x) − f (x0)

x − x0

.

b) Okamžitá rychlost:

Nechť se bod pohybuje po přímce a nechť funkce s = f (t) vyjadřuje závislost jeho
vzdálenosti s od počátečního bodu O (bráno s odpovídajícím znaménkem) v čase

84

Diferenciální počet

Obr. 2.14: Geometrický význam derivace

t. V okamžiku t je bod ve vzdálenosti s = f (t) od O. V jiném časovém okamžiku
t + ∆t je ve vzdálenosti s + ∆s = f (t + ∆t) od O. Jeho průměrná rychlost během
časového intervalu (t, t + ∆t) je vyjádřena jako