Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
vpr =
∆s
∆t
=
f (t + ∆t) − f (t)
∆t
.
Okamžitá („skutečnáÿ) rychlost v bodu v okamžiku t může přirozeně být definována
jako limita, k níž se vpr blíží, když ∆t → 0, tj.
v(t) = vok(t) = lim
∆t→0
∆s
∆t
.
Derivace v bodě
Definice 2.42. Nechť pro funkci f definovanou na nějakém okolí U (x0) existuje vlastní
limita
f
0(x
0) = lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
.
Potom tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě x0.
Označíme-li h = x − x0, můžeme psát také
f
0(x
0) = lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0)
h
.
Je-li funkce f definovaná na U (x0) ∩ hx0, ∞) resp. na U (x0) ∩ (−∞, x0i a existují-li
jednostranné limity
f
0
+(x0) =
lim
x→x
+
0
f (x) − f (x0)
x − x0
resp. f
0
−(x0) = lim
x→x
−
0
f (x) − f (x0)
x − x0
,
potom f 0
+(x0) nazýváme derivací zprava a f
0
−(x0) derivací zleva funkce f v bodě x0.
Má-li funkce f v bodě x0 derivaci, řekneme, že je zde diferencovatelná.
2.4 Derivace
85
Věta 2.43. Je-li funkce f v bodě x0 diferencovatelná, je v tomto bodě spojitá.
Důkaz naleznete v části Pro zájemce na konci kapitoly.
Z věty o jednostranných limitách 2.12 plyne
Věta 2.44. Funkce f je v bodě x0 diferencovatelná, právě když existují jednostranné
derivace f 0
+(x0), f
0
−(x0) a jsou si rovny. Potom platí
f
0
+(x0) = f
0
−(x0) = f
0(x
0).
Definice 2.45.
1. Přímka o rovnici y − f (x0) = f
0(x
0)(x − x0) je tečna ke grafu
funkce f v bodě [x0, f (x0)].
2. Je-li f 0(x0) 6= 0, je přímka o rovnici y − f (x0) = −
1
f 0(x0)
(x − x0) normála ke grafu
funkce f v bodě [x0, f (x0)].
3. Polopřímky y − f (x0) = f
0
+(x0)(x − x0),
pro x > x0
resp. y − f (x0) = f