Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Pro kontrolu výsledků při výpočtech derivací funkce může posloužit tento maplet.

Příklad 2.56. Kondenzátor s kapacitou C se vybíjí přes rezistor s odporem R. Máme
najít intenzitu proudu v čase t, jestliže pro náboj na deskách kondenzátoru platí

Q = 0,001 e

−t/5

kde náboj Q je vyjádřen v coulombech a čas t v sekundách. Máme zjistit, za jak dlouho
klesne intenzita proudu na polovinu své počáteční hodnoty.

Řešení. Intenzita elektrického proudu v ampérech je

i =

dQ

dt

= (0,001 e

−t/5)0 = −0,000 2 e−t/5

Pro t = 0 je

i0 = −0,000 2 A = −0,2 mA

Čas v sekundách,za který klesne intenzita proudu na polovinu, najdeme z podmínky

i0

2

= −0,000 2 e

−t/5

neboli

1

2

= e

−t/5.

Tedy t = 5 ln 2

.

= 3,47 s.

Příklad 2.57. Máme najít rovnici tečny a normály ke grafu funkce y = ln x, jestliže
tečna je rovnoběžná s přímkou x − y + 5 = 0.

92

Diferenciální počet

Řešení. Nechť A = [x0, y0] je bod, ve kterém je hledaná tečna rovnoběžná se zadanou
přímkou. Z podmínky rovnoběžnosti plyne pro směrnici k1 tečny a směrnici k2 dané přímky
vztah k1 = k2 (= 1), neboli

(ln x)

0
x=x0 = 1,

tedy

1

x0

= 1.

Odtud je x0 = 1 a y0 = ln x0 = 0.
Rovnice tečny v bodě A = [1, 0] je

y − 0 = 1(x − 1)

neboli

x − y − 1 = 0

a rovnice normály

y − 0 = −

1

1

(x − 1)

neboli

x + y − 1 = 0.

Diferenciál funkce

Definice 2.58. Nechť funkce f je diferencovatelná v bodě x0. Potom funkci f

0(x

0) · h

proměnné h ∈ R nazýváme diferenciálem funkce f v bodě x0 a značíme

df (x0) = f

0(x

0) · h.

Je-li funkce f diferencovatelná na intervalu (a, b), potom f 0(x) · h závisí na dvou pro-
měnných x ∈ (a, b), h ∈ (−∞, ∞). Tento výraz nazýváme diferenciálem funkce a
označujeme d f (x), nebo d f .