Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

0(x

0) a platí

f

0(x

0) =

1

g0(y0)

=

1

g0[f (x0)]

.

(V Leibnizově zápisu derivací má poslední formule tvar

dy
dx =

1

dx
dy

.)

Důkaz věty naleznete v části Pro zájemce na konci kapitoly.

Tato věta se při výpočtu derivací běžně neužívá; pomocí ní odvodíme další vztahy pro

derivace elementárních funkcí:

Příklad 2.52.

a) (arcsinx)0 =

1

√

1−x2

b) (arctgx)0 =

1

1+x2

c) (ln x)0 =

1
x

Řešení.

a) y = arcsinx, x = sin y

dy
dx =

1

dx
dy

=

1

cos y =

1

√

1−sin2 y

=

1

√

1−x2

b) y = arctgx, x = tgy

dy
dx =

1

dx
dy

= cos2 y =

cos2 y

cos2 y+sin2 y

=

1

1+tg2y =

1

1+x2

c) y = ln x, x = ey

dy
dx =

1

dx
dy

=

1

ey =

1
x ,

x > 0

Derivace složené funkce

Umět správně použít následující větu je při výpočtu derivací naprosto nezbytné - vyžaduje
to pochopitelně aktivní znalost pojmu složené funkce, tj. každou složenou funkci umět
rozložit na jednotlivé složky.

Věta 2.53. Nechť funkce g : u = g(x) má derivaci v bodě x0 a funkce f : y = f (u) má
derivaci v bodě u0 = g(x0). Potom složená funkce f ◦ g : y = f [g(x)] má derivaci v bodě
x0 a platí

(f ◦ g)

0(x

0) = f

0(u

0) · g

0(x

0) = f

0[g(x

0)] · g

0(x

0).

(V Leibnizově zápisu derivace má formule tvar

dy
dx =

dy
du ·

du
dx .)

Příklad 2.54.

a) (ax)

0 = ax ln a (a > 0) b) (ln |x|)0 = 1

x

c) (xa)

0 = a xa−1 (a ∈ R)

90

Diferenciální počet

Řešení.

a) y = ax = ex ln a je složená funkce s vnitřní složkou u = x ln a a vnější

složkou y = eu:

dy

dx

=

dy

du

·

du

dx

= e

u · ln a = ex ln a · ln a = ax ln a

b) Pro x > 0 je nám vztah již znám.

Je-li x < 0, potom y = ln |x| = ln(−x); y = ln u, u = −x:

dy

dx

=

dy

du

·

du

dx

=

1

u

· (−1) =

1

−x