Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Zvolíme-li speciálně f : f (x) = x, potom d f (x) = dx = 1.h.
Výsledku dx = h budeme nadále používat všude. Bude tedy
d f (x) = f
0(x) · dx, df(x
0) = f
0(x
0) · dx.
Odtud lze dělením diferenciálem dx získat již dříve uvedené Leibnizovo vyjádření derivace
funkce
f
0(x) =
d f (x)
dx
, f
0(x
0) =
d f (x0)
dx
.
Přírůstek dx nazýváme přírůstkem argumentu.
Geometrický význam diferenciálu
2.4 Derivace
93
Obr. 2.20: Geometrický význam diferenciálu
Rovnice tečny ke grafu funkce
f v bodě [x0, f (x0)] má tvar:
y − f (x0) = tgα (x − x0) =
= f
0(x
0)(x − x0).
Označíme-li tedy
x − x0 = 4x,
f (x) − f (x0) = 4f (x),
je geometrický význam diferen-
ciálu
df (x0) = f
0(x
0)(x − x0)
„přírůstek po tečněÿ, tak jak je
znázorněno na obr. 2.20.
Aproximace přírůstku funkce diferenciálem
Přírůstek funkce f v bodě x definujeme vztahem ∆f (x) = f (x + h) − f (x).
Je-li f 0(x) 6= 0, potom
lim
h→0
∆f (x)
d f (x)
= lim
h→0
f (x + h) − f (x)
f 0(x) · h
=
lim
h→0
f (x+h)−f (x)
h
f 0(x)
= 1.
Proto pro dostatečně malá h je
∆f (x)
d f (x)
≈ 1, tj. ∆f (x) ≈ d f (x)
a můžeme pro malá h přibližně nahradit přírůstek funkce jejím diferenciálem.
Příklad 2.59. S jakou chybou (v procentech) vypočteme objem krychle, jestliže se při
měření strany krychle dopustíme nejvýše 1% chyby?
Řešení. Nechť x značí délku strany krychle a V její objem. Nechť dx značí možnou chybu
v měření x. Relativní chyba
dx
x
je v absolutní hodnotě nejvýše 0,01, tedy
|dx|
x
≤ 0,01.
Diferenciál dV je odhad chyby při výpočtu objemu, tj.
dV
V
je odhad relativní chyby objemu.
Protože
dV = d(x
3) = 3x2dx,
dostaneme
dV
V
=
3x2dx
x3
= 3
dx
x
.
Tedy relativní chyba objemu je trojnásobek relativní chyby v měření strany, tj. asi 3%.