Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
a) existuje lim
x→a
f (x), ale f je nespojitá v a?
b) f je v a spojitá, ale není v a diferencovatelná?
Obr. 2.24: Funkce z příkladu 5
6. O funkcích f a g víme, že f (3) = 2, f 0(3) = 4, g(3) = 5, g(5) = 3, g0(3) = 1 a
g0(5) = 7. Pro které x můžeme vypočítat (f ◦ g)0 a čemu je rovna?
7. Nechť g je diferencovatelná funkce taková, že její derivace je rovna
1
x3+1 . Nechť
h(x) = g(x2). Najděte h0(x).
102
Diferenciální počet
8. V obr. 2.25 jsou v levé části grafy jistých funkcí f1 – f15 a v pravé části grafy jis-
tých funkcí g1 – g15. Ke každé funkci fi najděte funkci gj tak, aby platilo f
0
i
= gj.
Obr. 2.25: Funkce a jejich derivace
9. Ukažte, že
a) derivace liché funkce je sudá funkce,
b) derivace sudé funkce je lichá funkce,
c) derivace funkce periodické s periodou p je periodická funkce s periodou p.
10. Dokažte, že bod dotyku tečny k hyperbole o rovnici y =
c
x půlí úsečku určenou
průsečíky této tečny se souřadnými osami.
11. Odůvodněte, proč nelze použít L’Hospitalovo pravidlo při výpočtu těchto limit:
a)
lim
x→0+
x2 sin
1
x
sin x
b)
lim
x→∞
x − sin x
x + sin x
2.4 Derivace
103
Cvičení
1. Vypočítejte derivace následujících funkcí (pro zjednodušení uvádíme pouze pravou
stranu definičního předpisu):
a)
x3 + 4x3
√
x + 4
3
√
x2 −
3
x5 +
5
3
√
x2
b)
3
q
x2
p
x4
√
x3
c)
(x3 − 2x + 1)(x4 − 5x2 + 10)
d)
(x − 1)(x − 2)2(x − 3)3
e)
3
√
x
1 − 3
√
x
+
1 +
√
x
1 +
√
2x
f)
(x + 1)(x3 − 2x)
(x2 + 1)(x3 − 1)
g)
√
x +
1
√
x
100
h)
r
1 −
√
x
1 +
√
x
i)
4
q
(3 + 4
3
√
2x)3
j)
sin x + cos x
2 sin 2x
k)
cos x2
cos2 x
l)
3cotg x + cotg3x
m)
tg 1 + x
x
n)
cotg
5
√
1 + x5
o)
sin (sin (sin x))