Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

0 napsat přibližný vztah

f (x) ≈ Tn(x),

x ∈ U (x0),

2.5 Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom

111

Obr. 2.27: Taylorovy polynomy funkce

√

1 + x

jehož chyba je dána absolutní hodnotou |Rn+1(x)|.

Uvedená aproximace má lokální charakter. Při výpočtu přibližné hodnoty funkce f podle
Taylorova vzorce můžeme všeobecně očekávat uspokojující výsledky jen pro body x blízké
bodu x0.

Tuto situaci můžeme ilustrovat na funkci

√

1 + x z předchozího příkladu, jestliže pro její

aproximaci použijeme odvozený polynom T3 , tj. položíme-li

√

1 + x ≈ 1 +

1

2

x −

1

8

x

2 +

1

16

x

3.

(∗)

Odhadněme chybu této aproximace:

|R4(x)| =

−1 · 3 · 5

24

1

4!

x4

p(1 + ϑx)7

<

1 · 3 · 5

24

x4

4!

,

(∗∗)

přičemž poslední výraz jsme dostali tak, že jsme položili ϑ = 0 (tím jsme výraz zaručeně
zvětšili).

Dosadíme-li do vzorce (*) za x hodnotu poměrně malou, např. x = 0,2, dostaneme pro
přibližnou hodnotu čísla

√

1,2:

p

1,2 ≈ 1 +

1

2

· 0,2 −

1

8

· (0,2)

2 +

1

16

· (0,2)

3 = 1,095 5.

Chyba této aproximace je podle vzorce (**) menší než

5

128 · (0,2)

4 .

= 0,000 06.

Pro srovnání - na kalkulačce vypočteme

√

1,2

.

= 1,095 445 115.

112

Diferenciální počet

Dosadíme-li však do (*) za x číslo podstatně větší, např. x = 2,4 , dostaneme pro přibliž-
nou hodnotu čísla

√

3,4:

p

3,4 ≈ 1 +

1

2

· 2,4 −

1

8

· (2,4)

2 +

1

16

· (2,4)

3 = 2,344;

přitom na kalkulačce vypočítáme

√

3,4 ≈ 1,843 908 891. Použití vzorce (*) dává v tomto

případě výsledek zcela nevyhovující. Ukazuje se dokonce, že i kdybychom pro x = 2,4 zvy-
šovali stupeň aproximujícího polynomu Tn, nedostali bychom pro x = 2,4 lepší výsledky,
právě naopak. Na obr. 2.27 můžeme vidět, že v bodě x = 3 se aproximace zhoršuje, jestliže
zvyšujeme stupeň Taylorova polynomu. Na obr. 2.28 je zvyšování stupně Taylorova poly-
nomu a zhoršování aproximace v animaci.