Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Z definice lokálního extrému vyplývá: Má-li funkce f v bodě x0 lokální maximum (mi-
nimum), potom zúžení funkce na jisté okolí U (x0) má v x0 největší (nejmenší) hodnotu.
Je-li navíc funkce na U (x0) diferencovatelná, musí podle Fermatovy věty platit f

0(x

0) = 0.

Může se ovšem stát, že funkce v bodě, ve kterém má lokální extrém, není diferencovatelná
– například |x| má jistě v bodě x0 = 0 minimum (pouze zde nabývá hodnoty 0, ve všech
bodech x 6= 0 je |x| > 0 = |0|), a přitom |x|0 v nule neexistuje. Proto platí následující
věta:

Věta 2.78. (Nutná podmínka pro lokální extrém) Jestliže funkce f má v bodě x0
lokální extrém, potom f 0(x0) = 0 nebo f

0(x

0) neexistuje.

Definice 2.79. Bod x0, ve kterém je f

0(x

0) = 0, se nazývá stacionární bod funkce f .

Z věty 2.78 vyplývá, že diferencovatelná funkce může mít extrém pouze ve stacionárním

bodě, ale extrém zde mít nemusí; navíc extrém může nastat i v bodě, kde funkce není
diferencovatelná. V obrázku 2.30 vidíme nalevo funkci, která má extrémy ve stacionárních
bodech, uprostřed funkci, která má extrémy v bodech, kde derivace neexistuje, a napravo
funkci, která ve stacionárním bodě extrém nemá.

Věta 2.80. (Postačující podmínka pro lokální extrém ve stacionárním bodě)
Nechť funkce f má druhou derivaci ve svém stacionárním bodě x0. Je-li f

00(x

0) > 0,

nastává v bodě x0 lokální minimum, je-li f

00(x

0) < 0, nastává v bodě x0 lokální maximum.

Naznačení důkazu, který plyne z Taylorovy věty, ukážeme v části Pro zájemce na konci kapitoly.

Příklad 2.81. Vyšetřeme lokální extrémy funkce f : f (x) = x3 + 3x2 − 9x + 1.

2.6 Optimalizace