Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

1
3 x

3−x2−3x na intervalu

h−3, 6i.

2.6 Optimalizace

121

Řešení.

Daná funkce je na intervalu h−3, 6i spojitá
a má na něm derivace f 0 a f 00. Přitom je
f 0(x) = x2 − 2x − 3, f 00(x) = 2x − 2. Staci-
onární body funkce jsou x1 = −1, x2 = 3.
Oba leží uvnitř intervalu h−3, 6i. Protože
f 00(−1) = −4 < 0, má funkce f v bodě
x1 = −1 ostré lokální maximum s hodnotou
f (−1) =

5
3 . Dále je f

00(3) = 4 > 0, a proto

má funkce f v bodě x2 = 3 ostré lokální mi-
nimum s hodnotou f (3) = −9.

Obr. 2.34: f (x) =

1
3 x

3 − x2 − 3x na

h−3, 6i.

Stanovíme hodnoty v krajních bodech intervalu: f (−3) = −9, f (6) = 18. Vidíme,

že daná funkce f má na intervalu h−3, 6i absolutní maximum o hodnotě 18 v bodě 6 a
absolutní minimum o hodnotě -9 v bodě -3 a v bodě 3.

Na vyšetřování absolutních extrémů funkcí na intervalu vedou často i praktické úlohy
– hledání optimální situace nějakého problému: nejmenší spotřeba materiálu, nejlevnější
cena atd. V těchto situacích spočívá podstatná část úlohy v nalezení funkce, jejíž extrém
se má najít, a intervalu, na kterém se má extrém hledat – tedy ve formalizaci úlohy:

Formalizaci slovní úlohy na extrém tvoří funkce, jejíž maximum (resp. minimum) hle-
dáme, tzv. účelová funkce, a podmnožina definičního oboru této funkce, na které se má
extrém realizovat.

Příklad 2.86. Letenka na vyhlídkový let stojí 100 Kč, jestliže se letu účastní od pade-
sáti do sta pasažérů; za každou prodanou letenku nad sto se cena letenky (pro všechny
pasažéry) snižuje o 50 hal. Letadlo má kapacitu 200 míst. Při jakém počtu pasažérů má
letecká společnost největší zisk?