Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

AP = 40 · t km,

BJ = 16 · t km.

Pro vzdálenost P J v tomto čase (v kilometrech) podle Pythagorovy věty platí

P J =

q

BP

2

+ BJ

2

.

Odtud

P J =

√

1856 t2 − 11666 t + 21025.

Tato odmocnina nabude nejmenší hodnoty při stejném t jako výraz pod odmocninou.

Formalizace úlohy:

f (t) = 1856 t2 − 11666 t + 21025

−→

min,

t ∈ (0, ∞).

Hledáme stacionární body účelové funkce:

f

0(t) = 3712 t − 11600,

f

0(t) = 0 pro t

0 =

11600

3712

= 3, 125(hodin);

124

Diferenciální počet

Řešení.

Vztah pro nosnost je závislý na
dvou proměnných s a v; jedinou
známou hodnotou v zadání je r –
pomocí něj a jedné proměnné vyjád-
říme druhou. Průřezem trámu bude
zřejmě obdélník (viz obr. vlevo) a z
Pythagorovy věty dostáváme v2 =
= 4r2s2. Můžeme dosadit do vztahu
pro nosnost a dostáváme

y = k · s · (4r

2 − s2).

Formalizace úlohy:

y(s) = k · (4sr2 − s3)

−→

max,

s ∈ (0, 2r).

Obr. 2.35: Průřez trámem

Hledáme stacionární body účelové funkce:

y0 = k(4r2 − 3s2), y0 = 0 pro s = 2r

q

k
3 (záporná hodnota nevyhovuje podmínce). Pomocí

druhé derivace ověříme, zda ve stacionárním bodě nastane skutečně maximum účelové
funkce:
y00 = −6k · s < 0 pro všechna, tedy i pro nalezené s - nosnost trámu je pro toto s největší.

Ještě vypočítáme druhý rozměr trámu: v = 2r

q

1 −

k
3 .

Příklad 2.89. Přístavy A, B jsou od sebe
vzdáleny 145 km. Z přístavu A vyjede par-
ník a současně ve stejném okamžiku vy-
jede z přístavy B jachta (ve směrech ur-
čených šipkami). Jejich rychlosti jsou stálé,
a to pro parník vp = 40km/h, pro jachtu
vj = 16km/h. Na jakou nejmenší vzdálenost
se k sobě během plavby přiblíží?

Obr. 2.36: Parník a jachta