Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

119

Obr. 2.30: Stacionární body a extrémy

Řešení.

f

0(x) = 3x2 + 6x − 9, f00(x) = 6x + 6.

Stacionární body dostaneme z podmínky
f 0(x) = 0, tedy

3(x

2 + 2x − 3) = 0 ⇒ x

1 = 1, x2 = −3.

Protože f 00(1) = 12 > 0, f 00(−3) = −12 < 0,
nastává v bodě x1 = 1 lokální minimum a
v bodě x2 = −3 lokální maximum s hodno-
tami

fmin = f (1) = −4,

fmax = f (−3) = 28.

Obr. 2.31: f (x) = x3 + 3x2 − 9x + 1.

V případě, že ve stacionárním bodě x0 je f

00(x

0) = 0, věta 2.80 o lokálním extrému

nerozhodne. Je-li však f dostatečně mnohokrát diferencovatelná v bodě x0, můžeme použít
následující větu:

Věta 2.82. Nechť ve stacionárním bodě x0 funkce f je

f (k)(x0) = 0

pro k = 1, 2, ..., n − 1,

f (n)(x0) 6= 0.

Je-li n sudé, nastává v x0 lokální extrém, a to lokální maximum (resp. minimum) pro
f (n)(x0) < 0 (resp. f

(n)(x

0) > 0). Je-li n liché, extrém v x0 nenastane.

Naznačení důkazu, který opět plyne z Taylorovy věty, ukážeme v části Pro zájemce na konci kapitoly.

Příklad 2.83. Máme vyšetřit lokální extrémy funkce f : f (x) =

1
6 x

6 + 1

12 x

4 + 2.

Žádnou z postačujících podmínek pro extrém, které využívají derivací vyšších řádů, po-

chopitelně nemůžeme použít, když první derivace neexistuje. V tomto případě použijeme
druhý důsledek Lagrangeovy věty - pro bod „podezřelý z extrémuÿ vyšetříme znaménko
první derivace nalevo a napravo od tohoto bodu, čímž zjistíme, kde funkce roste a kde
klesá a odtud je již jakost extrému i jeho existence zřejmá:

120

Diferenciální počet

Řešení.

f

0(x) = x5 + 1

3 x

3, f 00(x) = 5x4 + x2,

f