Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Obr. 2.28: Taylorovy polynomy funkce

√

1 + x (animace)

V předchozím příkladu jsme si stanovili předem stupeň Taylorova polynomu a poté určo-
vali chybu, které se při aproximaci dopustíme. V následujícím příkladu postup obrátíme
– nejdříve stanovíme přesnost aproximace a k ní budeme hledat stupeň aproximujícího
polynomu, pro který bude požadované přesnosti dosaženo.

Příklad 2.76. Aproximujme funkci ex Maclaurinovým polynomem a určeme, jaký musí
být jeho stupeň, aby pro x ∈ (0, 1) byla chyba v absolutní hodnotě menší než 10−3.

Řešení.
f (k)(x) = ex,

f (k)(0) = e0 = 1, k = 0, 1, 2, ....

2.5 Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom

113

Proto

e

x = 1 +

x

1!

+ · · · +

xn

n!

+ Rn+1,

kde

Rn+1 =

eϑx

(n + 1)!

x

n+1, 0 < ϑ < 1.

Nyní požadujeme

|Rn+1| =

eϑx

(n + 1)!

|x|

n+1 < 10−3 pro x ∈ (0, 1).

K tomu stačí, aby

|Rn+1| =

eϑx

(n + 1)!

|x|

n+1 <

e

(n + 1)!

< 10

−3,

neboli

(n + 1)! > e · 10

3 > 2718.

Protože 6! = 720, 7! = 5040 vyhovuje n = 6.

Proto pro předepsanou přesnost je třeba vzít polynom alespoň šestého stupně.

Obr. 2.29: Taylorovy polynomy funkce ex

Maplet pro výpočet Taylorových polynomů najdete zde. V tomto mapletu se pro zvo-

lené funkce počítají i Taylorovy řady, o kterých se více dozvíme v poslední kapitole tohoto
textu.

114

Diferenciální počet

Shrnutí

V této kapitole jsme zavedli pojem

• derivace druhého řádu funkce f :

existuje-li f 0 na nějakém intervalu J , klademe

f 00(x) = (f 0(x))

0,

• derivace n-tého řádu funkce f :

existuje-li f (n−1) na nějakém intervalu J , kla-

deme
f (n)(x) = f (n−1)(x)

0,

• diferenciál n-tého řádu funkce f v bodě x0:

funkce proměnné h:

dnf (x0) = f

(n)(x

0) · h

n, je-li f funkce n-krát diferencovatelná v bodě x