Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

000(x) = 20x3 + 2x, f(4)(x) = 60x2 + 2.

Stacionární body dostaneme z podmínky
x3 · x2 +

1
3

 = 0, tedy f má jediný stacio-

nární bod x = 0.
f 00(0) = f 000(0) = 0, f (4)(0) = 2 > 0.
Protože nejnižší derivace, která je v bodě 0
různá od nuly je sudého řádu, nastává zde
lokální extrém a to lokální minimum.

Obr. 2.32: f (x) =

1
6 x

6 + 1

12 x

4 + 2

Pro x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, 1) je f 0(x) < 0,
pro x ∈ (−1, 0) ∪ (1, ∞) je f 0(x) > 0,
tedy na (−∞, −1) a (0, 1) funkce klesá,
na (−1, 0) a (1, ∞) funkce roste.
Odtud plyne, že pro x = 0 má funkce
lokální maximum s hodnotou
fmax = f (0) = 1,
pro x = ±1 má lokální minima s hodnotou
fmin = f (−1) = f (1) = 0.

Obr. 2.33: f (x) = (x2 − 1)

2
3

Příklad 2.84. Najděte lokální extrémy funkce f (x) = (x2 − 1)

2
3

.

Řešení.

f

0(x) =

2

3

(x

2 − 1)−

1
3

· 2x =

4

3

x

3

√

x2 − 1

=

4

3

x

3

√

x − 1

3

√

x + 1

.

f

0(x) = 0 pro x = 0,

f

0(x) neex. pro x = ±1.

Maplet pro výpočet lokálních extrémů funkcí najdete zde; intervaly, na kterých daná

funkce roste a kde klesá se dají najít pomocí tohoto Mapletu.

Absolutní (globální) extrémy

Weierstrassova věta zajišťuje existenci maxima a minima spojité funkce f na uzavřeném
intervalu J . Tyto hodnoty nazýváme největší a nejmenší hodnotou funkce f na
dané množině neboli absolutními extrémy . Svých absolutních extrémů může funkce
nabýt jak v krajních bodech intervalu J , tak v jeho vnitřních bodech. Proto pro nalezení
absolutních extrémů je třeba porovnat hodnoty funkce v bodech jejích lokálních extrémů
a v krajních bodech intervalu J .

Příklad 2.85. Máme najít absolutní extrémy funkce f : f (x) =