Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Řešení. Počet pasažérů označíme jako x, zřejmě je x ∈ h50, 200i. Najdeme nejdříve
funkci, která vyjadřuje cenu letenky v případě, kdy pasažérů je více než sto:

Je-li x počet pasažérů, je x − 100 počet pasažérů nad 100 a cena letenky se snižuje o
(x − 100) · 0,5 Kč. Cena leteky je tedy v tomto případě rovna 100 − (x − 100)/2 Kč.

Nyní můžeme sestavit funkci, která vyjadřuje celkový zisk společnosti v závislosti na
počtu účastníků letu, tedy formalizovat úlohu:

f (x) =

( 100x

pro x ∈ h50, 100i

150 −

x
2

 x pro x ∈ (100, 200i

−→

max.

122

Diferenciální počet

Poznamenejme, že funkce f je pro x = 100 (tedy na celém definičnín oboru) spojitá.
Určíme první derivaci:

f

0(x) =

100

pro x ∈ (50, 100)

neex.

pro x = 100

150 − x pro x ∈ (100, 200)

Funkce může mít absolutní maximum v bodech, ve kterých je první derivace nulová, nebo
kde neexistuje; k ověření existence maxima použijeme znaménko 1. derivace:

f 0(x) = 0 pro x = 150,

f 0(x) > 0 pro x ∈ (50, 100) a x ∈ (100, 150),

f 0(x) < 0 pro x ∈ (150, 200).

Účelová funkce tedy roste pro x ∈ (50, 150) a klesá pro x ∈ (150, 200), tj. má absolutní
maximum pro x = 150 a toto maximum má hodnotu

největší zisk = f (150) = 150

2 −

1

2

150

2 = 11250.

Poznamenejme, že absolutního minima nabude v některém krajním bodě intervalu:

f (50) = 5000,

f (200) = 150 · 200 −

1

2

200

2 = 10000;

nejmenší zisk dosáhne letecká společnost při padesáti pasažérech.

Příklad 2.87. Máme najít rozměry uzavřené plechové konzervy tvaru rotačního válce,
která má daný objem V tak, aby hmotnost obalu (při konstantní dané tloušťce plechu, ze
kterého je vyrobena) byla co nejmenší.