Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

2x

1+x2 ,

h) f (x) =

10

4x3−9x2+6x ,

i)

f (x) = x3 + 2|x|,

j)

f (x) = 1 +

p|x|,

k)

f (x) =

√

6x − x2,

l)

f (x) = (x2 − 1)2/3,

m) f (x) = sin x + cos x,

n) f (x) = 4x − tg x,

o)

f (x) = x2e−x,

p)

f (x) = e−x sin x,

q)

f (x) =

x

ln x ,

r)

f (x) = x − ln(1 + x).

2.6 Optimalizace

129

4. Najděte absolutní extrémy daných funkcí na daných intervalech:

a)

f (x) = x2 − 6x + 10,

h−1, 5i,

b)

f (x) = x3 − 3x + 20,

h−3, 3i,

c)

f (x) = x5 − 5x4 + 5x2 + 1, h−2, 1i,

d)

f (x) = |x2 − 6x + 5|,

h−5, 5i,

e)

f (x) = x +

1

x−1 ,

h−4, 0i,

f ) f (x) = x +

2x

x2−1 ,

h1,01, 2i.

5. Číslo 28 rozložte na dva sčítance tak, aby jejich součin byl největší.

6. Najděte takové kladné číslo, aby součet tohoto čísla a jeho převrácené hodnoty byl

nejmenší.

7. Jsou dány čísla a, s (0 < a < s). Mezi všemi trojúhelníky, které mají obvod 2s a

stranu a, najděte trojúhelník s největším obsahem.

8. Jaké rozměry musí mít pravoúhlý rovnoběžník daného obvodu s, aby jeho úhlopříčka

byla nejmenší?

9. Dokažte, že ze všech obdélníků daného obsahu má čtverec nejmenší obvod.

10. Dokažte, že ze všech obdélníků daného obvodu má čtverec největší obsah.

11. Na parabole y = 4x − x2 najděte bod, který je nejblíže k bodu A = [−1, 4].

12. Drát délky a máme rozdělit na dvě části, ze kterých první ohneme do tvaru čtverce

a druhou do tvaru kruhu. Kde je třeba udělat řez, aby součet obsahů kruhu a čtverce
byl největší?

13. Karton tvaru obdélníka má rozměry 60 cm ×28 cm. V rozích nastřihneme čtverce a

zbytek ohneme do otevřené krabice. Jak velká má být strana nastřihnutých čtverců,
aby objem krabice byl největší?