Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Z vět 2.78 a 2.91 plyne

Věta 2.95. (Nutná podmínka pro inflexi) Je-li x0 inflexním bodem funkce f , potom
buď f 00(x0) = 0, nebo f

00(x

0) neexistuje.

132

Diferenciální počet

Příklad 2.94. Funkce

f : f (x) = 3(x − 1)

3 + x

má inflexi v bodě x0 = 1 – viz obr. 2.39:

f 0(x) = 9(x − 1)2 + 1,

f 00(x) = 18(x − 1).

Pro x > 1 je f 00(x) > 0 a f je konvexní,

pro x < 1 je f 00(x) < 0 a f je konkávní.

Obr. 2.39: f (x) = 3(x − 1)3 + x

Analogicky jako u lokálních extrémů platí

Věta 2.96. (Postačující podmínka pro inflexi) Nechť

f (k)(x0) = 0 pro k = 2, 3, ..., n − 1,

f (n)(x0) 6= 0.

Je-li n liché, potom x0 je inflexní bod funkce f , je-li n sudé, v x0 inflexe nenastane.

Příklad 2.97. Máme najít inflexní body funkce f : f (x) = e−x

2

+ 2x.

Řešení. f 00(x) = 2e−x

2

(2x2 − 1);

f 00(x) = 0 ⇔ 2x2 − 1 = 0;

Této podmínce vyhovují body
x1 =

1

√

2

, x2 = −

1

√

2

.

Dále je f 000(x) = −4e−x

2

(2x3 − 3x),

f 000(x1) = 4

√

2e−

1
2

6= 0,

f 000(x2) = −4

√

2e−

1
2

6= 0.

Proto

1

√

2

, −

1

√

2

jsou inflexní body funkce f .

Obr. 2.40: f (x) = e−x

2

+ 2x

Pro nalelezení inflexních bodů a intervalů, kde je funkce konvexní a kde konkávní, lze

použít tento Maplet.

2.7 Průběh funkce

133

Vyšetření průběhu funkce

Vyšetřit průběh funkce znamená získat dostatek informací o nejvýznamnějších jejích vlast-
nostech zmíněných v předchozím textu: Kromě určení oboru definice, bodů nespojitosti,
nulových bodů a určení významných limit se jedná hlavně o určení intervalů monotonie,
lokálních a absolutních extrémů, intervalů konvexnosti a konkávnosti, inflexních bodů,
asymptot a konečně o načrtnutí grafu funkce.