Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

f

0(x) =

x − 1

x

e

1
x

;

f

0(x) = 0 pro x = 1,

f

0 neex. pro x = 0 (6∈ D

f ).

Funkce má lokální minimum v bodě x = 1 s hodnotou f (1) = e.

2.7 Průběh funkce

137

Obr. 2.46: Znaménko derivace funkce f (x) = xe

1
x

III. Intervaly konvexnosti a konkávnosti; inflexní body:

f

00(x) =

1

x3

e

1
x

f (x) 6= 0 ∀x ∈ Df .

Obr. 2.47: Znaménko druhé derivace funkce f (x) = xe

1
x

Funkce je pro x > 0 konvexní a pro x < 0 konkávní.

Nakreslíme graf:

Obr. 2.48: Graf funkce f (x) = xe

1
x

Na závěr uvedeme soupis všech Mapletů, které mohou pomoci při vyšetření průběhu

funkce:
Nalezení lokálních extrémů,
Nalezení intervalů, na kterých funkce roste resp. klesá,
Nalezení inflexních bodů a intervalů, kde je funkce konvexní resp. konkávní,
Výpočet asymptot a
Nakreslení grafu funkce.

138

Diferenciální počet

Shrnutí

V poslední kapitole o diferenciálním počtu funkce jedné proměnné jsme dříve odvozená
fakta o derivacích použili k vyšetření chování funkcí – průběhu funkce. K již odvozeným
pravidlům v předchozích kapitolách jsme navíc zkoumali:

• kde je funkce f konvexní (resp. konkávní):

graf funkce f v každém bodě in-

tervalu leží nad (resp. pod) tečnou, sestrojenou v tomto bodě, přičemž

• znaménko druhé derivace funkce udává, kde je funkce konvexní (resp konkávní):

je-li f 00 > 0 (resp. f 00 < 0) na intervalu J , funkce f je na J konvexní (resp
konkávní),

• kde funkce f má inflexní bod (inflexi):

přechází z jedné strany tečny na druhou,

• nutná podmínka pro inflexi:

má-li funkce f v bodě x0 inflexní bod, je f

00(x

0) =

= 0;

Při vyšetřování průběhu funkce postupujeme obvykle podle tohoto schematu:

I.

(a) Definiční obor Df funkce f.

(b) Body nespojitosti; intervaly spojitosti.