Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body

Definice 2.90. Funkce f , definovaná na J ⊂ R se nazývá konvexní (resp. konkávní)
na J , má-li tuto vlastnost:
Jsou-li x1, x, x2 ∈ J libovolné tři body takové, že x1 < x < x2, potom bod P = [x, f (x)]
leží buď pod (resp. nad) přímkou P1P2, kde P1 = [x1, f (x1)], P2 = [x2, f (x2)]

2.7 Průběh funkce

131

Myšlenka definice je znázorněna v obr. 2.37, kde je nalevo konvexní a napravo konkávní
funkce.

Obr. 2.37: Konvexní a konkávní funkce

Pro diferencovatelnou funkci je možno použít jednodušší definici: Funkce f je v intervalu
J konvexní (resp. konkávní), leží-li graf funkce pro x ∈ J nad (resp. pod) tečnou, vedenou
k tomuto grafu libovolným bodem [x, f (x)], x ∈ J .

Pro vyšetřování konvexnosti je důležitá ná-
sledující (dost názorná) věta, jejíž pravdivost
demonstrujeme v sousedním obrázku:

Věta 2.91. Nechť funkce f je spojitá na J
a diferencovatelná na J0. Potom

a) f je konvexní na J , právě když f 0 roste

na J0,

b) f je konkávní na J , právě když f 0 klesá

na J0.

Obr. 2.38: f konvexní – f 0 roste

Z vět 2.91 a 3 bezprostředně plyne

Věta 2.92. Nechť funkce f je dvakrát diferencovatelná na J . Potom f je na J konvexní
(resp. konkávní), právě když f 00(x) ≥ 0 (resp. f 00(x) ≤ 0) na J0, přičemž není f

00(x) = 0

na žádném podintervalu intervalu J .

Definice 2.93. Nechť funkce f je diferencovatelná v bodě x0. Řekneme, že f má v bodě
x0 inflexi a bod x0 nazveme inflexním bodem funkce f , jestliže existuje ε > 0 tak,
že f je konvexní na intervalu (x0 − ε, x0) a konkávní na intervalu (x0, x0 + ε), nebo je f
konkávní na intervalu (x0 − ε, x0) a konvexní na intervalu (x0, x0 + ε).