Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(4 − x2)2
=
x2(12 − x2)
(4 − x2)2
f 0(x) = 0 pro x = 0 a x = 2
√
3, derivace neexistuje v bodě x = 2(pochopitelně,
není tam definovaná). Vyšetříme znaménko derivace; nakreslíme na číselné ose
body, ve kterých může derivace f 0 funkce f měnit znaménko a nad číselnou osu
příslušná znaménka. Pod osou vyznačíme, kde funkce f roste a kde klesá:
Obr. 2.41: Znaménko derivace funkce f (x) =
x3
4−x2
Vidíme, že funkce f má maximum v bodě x = 2
√
3.
Jeho hodnota je f (2
√
3) = −3
√
3.
III. Intervaly konvexnosti a konkávnosti; inflexní body.
f
00(x) =
(24x − 4x3)(4 − x2)2 − 2(4 − x2)(−2x)(12x2 − x4)
(4 − x2)4
=
8x(12 + x2)
(4 − x2)3
.
f 00(x) = 0 pro x = 0; z lichosti funkce f plyne, že je to inflexní bod.
Vyšetříme znaménko druhé derivace; nakreslíme na číselné ose body, ve kterých
může druhá derivace f 00 měnit znaménko a nad číselnou osu příslušná znaménka.
Pod osou vyznačíme, kde je funkce f konvexní a kde konkávní:
Obr. 2.42: Znaménko druhé derivace funkce f (x) =
x3
4−x2
Závěrem, s využitím všech získaných vlastností funkce f , načrtneme její graf (pro
x < 0 využijeme symetrie podle počátku):
2.7 Průběh funkce
135
Obr. 2.43: Graf funkce f (x) =
x3
4−x2
b)
I. (a) f (x) =
3
√
x2 − x: Definiční obor Df = R,
(b) funkce f je spojitá na celém R.
(c) Průsečíky se souřadnými osami:
f (x) = 0 ⇔
3
√
x2(1 −
3
√
x) = 0 :
f
−1({0}) = {0, 1}.
(d) Funkce není ani sudá, ani lichá, ani periodická.
(e) Funkce nemá svislé asymptoty
(f) Chování v nekonečnu, asymptoty se směrnicí:
a = lim
x→±∞
f (x)
x
= lim
x→±∞
1
3
√
x
− 1
= −1,
b = lim
x→±∞
(f (x) − ax) = lim
x→±∞