Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

x = t

2 + t + x

0.

Jednoduchou zkouškou se přesvědčíme, že tato funkce splňuje obě podmínky, a zároveň
vidíme, že hledaná funkce daných vlastností je jediná.

Každé takové funkci, jejíž derivací je daná funkce, budeme říkat primitivní funkce k funkci
dané. Na příkladě jsme viděli, že k dané funkci může existovat nekonečně mnoho primi-
tivních funkcí. Množinu všech primitivních funkcí často nazýváme neurčitým integrálem.
Nyní přejdeme k přesné formulaci základních pojmů.

Primitivní funkce

Definice 3.2. Nechť I je interval v R a f : I → R funkce. Funkci F nazveme primitivní
k funkci f v intervalu I, platí-li pro každé x ∈ I vztah

F

0(x) = f(x).

142

Integrální počet

(V případě uzavřeného intervalu rozumíme derivací v krajních bodech jednostranné deri-
vace.)

Poznamenejme, že z definice primitivní funkce přímo vyplývá následující věta:

Věta 3.3. Je-li funkce F primitivní funkcí k nějaké funkci f v intervalu I, pak je funkce
F v I spojitá.

Důkaz Tvrzení věty plyne z existence derivace F 0 (= f ).

Primitivní funkce k zadané funkci jistě není určena jednoznačně – derivací se snadno
přesvědčíme, že pro libovolnou funkci F primitivní k funkci f v intervalu I platí, že i
G = F +c je primitivní funkce k funkci f v intervalu I pro každé c ∈ R. Jinak řečeno, liší-li
se dvě primitivní funkce F, G o konstantu, tj. G − F = c, jsou primitivními funkcemi ke
stejné funkci f . Navíc, na základě důsledku Lagrangeovy věty o přírůstku funkce, nulovou
derivaci má pouze konstantní funkce, a tudíž stejnou derivaci mohou mít pouze funkce,
lišící se o konstantu. Platí tedy věta:

Věta 3.4. Je-li funkce F primitivní k funkci f v intervalu I, pak {F + c | c ∈ R} je
množinou všech primitivních funkcí k funkci f .