Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Příklad 3.5. Primitivními funkcemi k funkci sin 2x v I = (−∞, ∞) jsou například
funkce 1 −

1
2 cos 2x nebo

1
2 (3 − cos 2x), protože

1 −

1

2

cos 2x

0

= sin 2x,

 1

2

(3 − cos 2x)

0

= sin 2x.

Ale také funkce sin

2 x je primitivní ke stejné funkci, protože

(sin

2 x)0 = 2 sin x cos x = sin 2x.

Z předchozí věty plyne, že sin

2 x + 1

2 cos 2x = c; najděme tuto konstantu:

sin

2 x +

1

2

cos 2x = sin

2 x +

1

2

(cos

2 x − sin2 x) =

1

2

(sin

2 x + cos2 x) =

1

2

.

Hledaná konstanta je tedy c =

1
2 .

Na jednoduchém příkladě můžeme ukázat, že ne ke každé funkci existuje primitivní funkce:

3.1 Neurčitý integrál

143

Příklad 3.6. Jednotková Heavisideova funkce η definovaná předpisem

η(t) =

 0 pro t < 0,

1 pro t ≥ 0

nemá na intervalu (−∞, ∞) primitivní funkci. Předpokládejme opak, tedy nechť F je
primitivní funkcí k η, tj. F 0(t) = η(t) pro t ∈ (−∞, ∞). Funkce F musí být na intervalu
(−∞, ∞) spojitá (má derivaci!), a musí platit

F

0(t) = η(t) =

 0 pro t < 0,

1 pro t > 0.

Takovou funkcí by mohla být funkce

F (t) =

 c

pro t < 0,

t + c pro t > 0.

Tato funkce F však nemá v bodě 0 derivaci. Je totiž F 0−(0) = 0, F

0

+(0) = 1, a proto není

F primitivní funkcí.

Postačující podmínku pro existenci primitivní funkce uvádí následující věta:

Věta 3.7. Nechť f je spojitá funkce na intervalu J . Potom k ní na tomto intervalu
existuje primitivní funkce.

Neurčitý integrál

Definice 3.8. Symbolem

R f (x) dx označujeme systém všech primitivních funkcí k funkci

f a nazýváme jej neurčitý integrál funkce f . Potom píšeme

Z

f (x) dx = F (x) + c,