Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
3
√
x2 = ∞,
funkce nemá asymptoty.
II. Intervaly monotónnosti; body extrému a extrémy:
f
0(x) =
2
3
x
− 1
3
− 1 =
2 − 3 3
√
x
3 3
√
x
; f
0(x) = 0 ⇔ x =
8
27
;
f
0 neexistuje pro x = 0.
Obr. 2.44: Znaménko derivace funkce f (x) =
3
√
x2 − x
V bodě x = 0 má funkce lokální minimum se svislou polotečnou
( lim
x→0−
f 0(x) = −∞, lim
x→0+
f 0(x) = ∞), přičemž f (0) = 0, a v bodě x =
8
27 lokální
maximum s derivací nulovou, přičemž f (
8
27 ) =
4
27 .
136
Diferenciální počet
III. Intervaly konvexnosti a konkávnosti, inflexní body:
f
00(x) = −
2
9
x
− 4
3
= −
2
9
1
3
√
x4
< 0 ∀x, x 6= 0.
Funkce f je tedy konkávní pro x < 0 i pro x > 0.
Nakreslíme graf:
Obr. 2.45: Graf funkce f (x) =
3
√
x2 − x
c)
I. (a) f (x) = x e1/x:
Definiční obor Df = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
(b) Na svém definičním oboru je funkce f spojitá, je nespojitá pro x = 0.
(c) Průsečíky se souřadnými osami funkce nemá; pro x = 0 má nulovou jedno-
strannou limitu zleva.
(d) Funkce není ani sudá, ani lichá, ani periodická.
(e) Chování funkce v okolí bodů nespojitosti a svislé asymptoty:
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
e
1
x
1
x
= |L0H pravidlo| = lim
x→0+
e
1
x
(−
1
x2
)
− 1
x2
= lim
x→0+
e
1
x
= ∞,
limx→0− f (x) = 0.
Funkce má svislou asymptotu v bodě x = 0; asymptota je jednostranná –
pouze zprava, funkce zde má nespojitost druhého druhu.
(f) Chování v nekonečnu, asymptoty se směrnicí:
a = lim
x→±∞
f (x)
x
= lim
x→±∞
e
1
x
= 1,
b = lim
x→±∞
(f (x) − ax) = lim
x→±∞
(xe
1
x
− x) = lim
x→±∞
e
1
x
−1
1
x
= |L0H pravidlo| = 1.
Funkce má šikmou asymptotu o rovnici y = x + 1.
II. Intervaly monotónnosti, body extrému a extrémy: