Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1. Substituce g(x) = t:
Má-li hledaný integrál tvar integrálu ze součinu složené funkce a derivace její vnitřní
složky, a neznáme-li jeho hodnotu, pak substitucí g(x) = t přejde na tvar
R f (t) dt,
který může být pro výpočet jednodušší. Schematický zápis použití:
Z
f (g(x)) g
0(x) dx =
g(x) = t
g0(x) dx = dt
=
Z
f (t) dt = F (t) + c = F (g(x)) + c.
2. Substituce x = g(t):
Budeme-li navíc předpokládat existenci g−1, pro výpočet integrálu platí
Z
f (x) dx =
x = g(t)
dx = g0(t) dt
=
Z
f (g(t)) g
0(t) dt = G(t) + c = G(g−1(x)) + c.
Příklad 3.13. Vypočítáme integrály
a)
Z
x
4x2 + 1
dx,
b)
Z
1
4x2 + 1
dx.
Řešení. a) Položíme-li t = 4x2 + 1, je dt = 8x dx, tedy
Z
x
4x2 + 1
dx =
1
8
Z
1
4x2 + 1
8x dx =
t
= 4x2 + 1
dt = 8x dx
=
1
8
Z
1
t
dt =
1
8
ln |t| + c =
=
1
8
ln(4x
2 + 1) + c,
b) v tomto případě substituce t = 4x2 + 1 nepovede k cíli, protože dt si v integrálu
nemůžeme opatřit. Budeme postupovat takto:
Z
1
4x2 + 1
dx =
Z
1
(2x)2 + 1
dx =
t
= 2x
dt = 2dx
=
1
2
Z
1
t2 + 1
dt =
1
2
arctg t + c =
=
1
2
arctg 2x + c.
148
Integrální počet
V předchozím příkladu jsme viděli, jak velmi podobné výrazy (jednoduché racionální
lomené funkce) integrujeme rozdílným způsobem. To je právě nevýhoda při hledání pri-
mitivních funkcí, že jsou zde jen návody, jak v některých trochu obecných případech
postupovat.
V následujícím příkladu zobecníme oba postupy použité v předchozím příkladu – odvo-
díme dva důležité vzorce:
Příklad 3.14. Ukážeme, že platí:
a)
Z
f 0(x)
f (x)
dx = ln |f (x)| + c,
b)
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F (ax + b) + c.
Řešení.
a)
Z
f 0(x)
f (x)
dx =
t
= f (x)
dt = f 0(x) dx
=
Z
dt
t
= ln |t| + c = ln |f (x)| + c,